Question

11．如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC邊的中點(diǎn)，連接AD，過點(diǎn)A作AE∥BC，且AE=CD，連接EC．
（1）求證：四邊形ADCE是菱形；
（2）如果AC=a，tan∠ABC=$\frac{1}{3}$，寫出求菱形ADCE的面積的思路．

Answer 1

分析 （1）先證明四邊形ADCE是平行四邊形，再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出AD=CD，即可得出結(jié)論；
（2）由中線的性質(zhì)得出△ABC的面積=2△ACD的面積，由菱形的性質(zhì)得出菱形ADCE的面積=2△ACD的面積，得出菱形ADCE的面積=△ABC的面積，由三角函數(shù)得出AB=3a，即可求出答案．

解答 （1）證明：∵AE∥BC，AE=CD，
∴四邊形ADCE是平行四邊形．
∵∠BAC=90°，D是BC邊的中點(diǎn)，
∴AD=BD=CD．
∴平行四邊形ADCE是菱形．
（2）解：∵D是BC邊的中點(diǎn)，
∴△ABC的面積=2△ACD的面積，
∵四邊形ADCE是菱形，
∴菱形ADCE的面積=2△ACD的面積，
∴菱形ADCE的面積=△ABC的面積，
∵∠BAC=90°，AC=a，tan∠ABC=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
∴AB=3AC=3a，
∴菱形ADCE的面積=$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{3}{2}$a²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、三角函數(shù)的運(yùn)用；熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．