Question

19．在正方形ABCD中，BD是對角線，點P在射線CD上（與點C、D不重合），連接AP，平移△ADP，使點D移動到點C，得到△BCQ，過點Q作QH⊥BD于點H，連接AH，PH．
（1）若點P在線段CD上，請按題意補全圖；
（2）AH與PH的數(shù)量關系是相等； AH與PH的位置關系是垂直；
對以上所填的兩個結論均加以證明（若需要的話請另外畫圖）

Answer 1

分析 （1）先依據(jù)要求畫出平移后的△BCQ，然后過點Q作QH⊥BD，垂足為H，最后連接AH和PH即可；
（2）先證明AD=PQ，然后再證明△DHQ為等腰直角三角形，從而得到DH=HQ，然后依據(jù)SAS可證明△ADH≌△PQH，依據(jù)全等三角形的性質可得到問題的答案．

解答 解：（1）依照題意，補充圖形，如圖1所示．

（2）當點P在線段CD上時（圖1所示）．

∵由平移的性質可知：DP=CQ，
∴DC=PQ．
∴AD=PQ．
∵ABCD為正方形，
∴∠HDQ=∠ADH=45°．
又∵QH⊥BD，
∴∠HQD=45°．
∴∠HDQ=∠HQD=45°．
∴DH=HQ，∠ADH=∠PQH．
在△ADH和△PQH中$\left\{\begin{array}{l}{AD=PQ}\\{∠ADH=∠PQH}\\{DH=HQ}\end{array}\right.$，
∴△ADH≌△PQH．
∴AH=QH，∠AHD=∠PHQ．
∵∠DHP+∠PHQ=90°，
∴∠DHP+∠AHD=90°．
∴AH⊥QH．
當點P在CD的延長線上時，如圖2所示：

∵由平移的性質可知：DP=CQ，
∴DC=PQ．
∴AD=PQ．
∵ABCD為正方形，
∴∠HDQ=∠ADH=45°．
又∵QH⊥BD，
∴∠HQD=45°．
∴∠HDQ=∠HQD=45°．
∴DH=HQ，∠ADH=∠PQH．
在△ADH和△PQH中$\left\{\begin{array}{l}{AD=PQ}\\{∠ADH=∠PQH}\\{DH=HQ}\end{array}\right.$，
∴△ADH≌△PQH．
∴AH=QH，∠AHD=∠PHQ．
∵∠DHP+∠PHQ=90°，
∴∠DHP+∠AHD=90°．
∴AH⊥QH．
故答案為：相等；垂直．

點評 本題主要考查的是正方形的性質全等三角形的性質和判定、平移的性質，證得△ADH≌△PQH是解題的關鍵．