Question

15．如圖所示，在矩形OABC中，以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓，交OC，于點D，連接BD并延長，交⊙O于點E，連接OE，EC，EC=BC．
（1）判斷EC與⊙O的位置關(guān)系，并給予證明．
（2）過點A作AF⊥BD于點F，求證：BF=DF．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)推出OC∥AB，∠ABC=90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ABE=∠ODE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠OED=∠ODE，∠EBC=∠BEC，從而得出∠ABE=∠OED，進一步得出∠ABE+∠EBC=∠ABC=90°=∠OED+∠BEC，得出OE⊥CE，即可證得CE與⊙O相切；
（2）連接AD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠EOC=∠ODA=45°，證得OE∥AD，根據(jù)平行線的性質(zhì)進一步得出∠ADB=∠ABE，得出△ABD是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可證得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵四邊形OABC是矩形，
∴OC∥AB，∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠ODE，
∵OD=OE，
∴∠OED=∠ODE，
∴∠ABE=∠OED，
∵EC=BC，
∴∠EBC=∠BEC，
∵∠ABE+∠EBC=∠ABC=90°，
∴∠OED+∠BEC=90°，
∴OE⊥CE，
∴CE與⊙O相切；
（2）證明：連接AD，
∵OA=OE=0D，OA=BC，EC=BC，
∴OE=BC，
∴△AOD和△OEC是等腰直角三角形，
∴∠EOC=∠ODA=45°，
∴OE∥AD，
∴∠ADB=∠OED，
∵∠ABE=∠OED，
∴∠ADB=∠ABE，
∴AD=AB，
∵AF⊥BD于點F，
∴BF=DF．

點評 本題考查了切線的判定，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．