Question

5．已知直線y=kx+1與雙曲線y=$\frac{4}{x}$（如圖所示）．
（1）寫出直線y=kx+1經(jīng)過的定點坐標；
（2）對于k，試探索該直線與雙曲線的交點情況．

Answer 1

分析 （1）由題意可知，直線y=kx+1經(jīng)過的定點的橫坐標一定是0，從而可以求得它的縱坐標，本題得以解決；
（2）先把兩個解析式聯(lián)立方程組，再看△的值，根據(jù)△的值，可以確定該直線與雙曲線的交點情況，還要考慮k=0的情況．該直線與雙曲線的交點情況．

解答 解：（1）當x=0時，不管k（k≠0）為何值，直線y=kx+1一定過點（0，1），
即直線y=kx+1經(jīng)過的定點坐標是（0，1）；
（2）$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$
可得，kx²+x-4=0，
△=1²-4×k×（-4）=1+16k，
當1+16k=0時，得k=-$\frac{1}{16}$，
∴當k＞-$\frac{1}{16}$且k≠0時，該直線與雙曲線有兩個交點；
當k=-$\frac{1}{16}$時，該直線與雙曲線有一個交點；
當k＜-$\frac{1}{16}$時，該直線與雙曲線沒有交點；
∵當k=0時，y=1與x軸平行，此時該直線與雙曲線有一個交點；
由上可得，當k＞-$\frac{1}{16}$且k≠0時，該直線與雙曲線有兩個交點；
當k=-$\frac{1}{16}$或k=0時，該直線與雙曲線有一個交點；
當k＜-$\frac{1}{16}$時，該直線與雙曲線沒有交點．

點評 本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，注意要考慮k=0時的交點情況．