Question

如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)M，弦MN∥BC交AB 于點(diǎn)E，且ME=3，AM=6，AE=3

3

．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）求

BM

的長．
（3）求陰影部分的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,弧長的計(jì)算,扇形面積的計(jì)算

專題：幾何綜合題

分析：（1）根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠AEM=90°，推出∠B=90°，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）求出∠MOB，求出半徑OM，根據(jù)弧長公式求出即可；
（3）分別求出扇形OMN和三角形OMN的面積，即可求出答案．

解答：（1）證明：∵M(jìn)E²+AE²=AM ²=36，
∴△AME是直角三角形，且∠AEM=90°，
又∵M(jìn)N∥BC，
∴∠ABC=∠AEM=90°，
即OB⊥BC．
∴BC是⊙O的切線；                            

（2）解：連接OM，
∵sinA=

ME

AM

=

1

2

，
∴∠A=30°，
∴∠BOM=2∠A=60°，
∴OM=2

3

，
∴

BM

的長度是：

60π×2 3

180

=

2 3

3

π；


（3）解：∵AB⊥MN，AB是直徑，
∴弧BM=弧BN，MN=2ME=6，
∴∠MON=2×60°=120°，
∵AE=3

3

，AO=OM=2

3

，
∴OE=

3

，
∴陰影部分的面積S=S_扇形OMN-S_△OMN=

120π×(2 3 )2

360

-

1

2

×6×

3

=4π-3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，弧長公式，扇形的面積，切線的判定的應(yīng)用，題目是一道綜合性比較強(qiáng)的題目，有一定的難度．