Question

已知矩形EFGC（如圖1）的一邊EC和對(duì)角線CF分別與矩形ABCD的對(duì)角線AC及邊BC重合．連接AF，取AF的中點(diǎn)為M，連接BM、EM．
（1）求證：MB=ME；
（2）如圖2，若將（1）中的矩形EFGC繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一定的角度，其它條件不變，你認(rèn)為（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）證明：如圖1．
∵四邊形ABCD是矩形，四邊形EFGC是矩形，
∴∠ABF=90°，∠FEC=90°=∠AEF，
∵M(jìn)為AF中點(diǎn)，
∴BM=

1

2

AF，EM=

1

2

AF，
∴BM=EM；

（2）若將（1）中的矩形EFGC繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一定的角度，其它條件不變，則（1）中的結(jié)論還成立，理由如下：如圖2．
證明：設(shè)大小矩形的中心分別為O、O′，連接BD，OM，MO′，EG．
∵M(jìn)，O′分別為AF，CF的中點(diǎn)，
∴MO′=

1

2

AC=OB；同理EO′=

1

2

CF=OM．
∵∠ACB=∠ECF，
∴∠OAB=∠EFO′，
又∵OB=

1

2

AC=OA，
∴∠OAB=∠OBA；
同理可證∠EFO′=∠FEO′．
∴∠AOB=∠EO′F，①
又∵OM∥CF，MO′∥AC，
∴∠AOM=∠OCF=∠MO′F，②
由①，②得：∠BOM=∠MO′E，
在△BMO與△MEO′中，

OB=O′M ∠BOM=∠MO′E OM=O′E

∴△BMO≌△MEO′（SAS），
∴BM=ME．