Question

已知矩形EFGC（如圖1）的一邊EC和對角線CF分別與矩形ABCD的對角線AC及邊BC重合．連接AF，取AF的中點為M，連接BM、EM．
（1）求證：MB=ME；
（2）如圖2，若將（1）中的矩形EFGC繞著點C旋轉(zhuǎn)一定的角度，其它條件不變，你認為（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立請證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：如圖1．
∵四邊形ABCD是矩形，四邊形EFGC是矩形，
∴∠ABF=90°，∠FEC=90°=∠AEF，
∵M為AF中點，
∴BM=AF，EM=AF，
∴BM=EM；

（2）若將（1）中的矩形EFGC繞著點C旋轉(zhuǎn)一定的角度，其它條件不變，則（1）中的結(jié)論還成立，理由如下：如圖2．
證明：設(shè)大小矩形的中心分別為O、O′，連接BD，OM，MO′，EG．
∵M，O′分別為AF，CF的中點，
∴MO′=AC=OB；同理EO′=CF=OM．
∵∠ACB=∠ECF，
∴∠OAB=∠EFO′，
又∵OB=AC=OA，
∴∠OAB=∠OBA；
同理可證∠EFO′=∠FEO′．
∴∠AOB=∠EO′F，①
又∵OM∥CF，MO′∥AC，
∴∠AOM=∠OCF=∠MO′F，②
由①，②得：∠BOM=∠MO′E，
在△BMO與△MEO′中，

∴△BMO≌△MEO′（SAS），
∴BM=ME．
分析：（1）先由矩形的性質(zhì)得出∠ABF=90°，∠FEC=90°=∠AEF，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得出BM=AF，EM=AF，則MB=ME；
（2）設(shè)大小矩形的中心分別為O、O′，連接BD，OM，MO′，EG，由SASD證明△BMO≌△MEO′即可．
點評：本題考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，綜合性較強，有一定難度，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．