Question

2．如圖，AD為△ABC的平分線，E為BC的中點，EF∥AD交BA的延長線于F，交AC于G．
（1）求證：AF=AG；
（2）求證：BF=CG；
（3）求$\frac{AB+AC}{CG}$的值．

Answer 1

分析 （1）由角平分線的定義可知∠1=∠2，由平行線的性質(zhì)可知∠F=∠1，∠2=∠3，故此∠F=∠3，由等角對等邊可知AF=AG；
（2）延長FE到H使FE=EH．先證明△BFE≌△CHE，從而得到∠H=∠F，BF=CH，由∠H=∠4，可知HC=CG，故此BF=CG；
（3）根據(jù)AB+AC=AB+AG+CG=AB+AF+CG=BF+GC，可知AB+AC=2GC．

解答 解：（1）如圖1所示：

∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2．
∵AD∥EF，
∴∠F=∠1，∠2=∠3．
∴∠F=∠3．
∴AF=AG．
（2）如圖2，延長FE到H使FE=EH．

在△BFE和△CHE中，
$\left\{\begin{array}{l}{EF=EH}\\{∠FEB=∠HEC}\\{BE=CE}\end{array}\right.$，
∴△BFE≌△CHE．
∴∠H=∠F，BF=CH．
又∵∠F=∠3=∠4，
∴∠H=∠4．
∴HC=CG．
∴BF=CG．
（3）$\frac{AB+AC}{CG}$=$\frac{AB+AG+GC}{GC}$=$\frac{AB+AF+GC}{GC}$=$\frac{BF+GC}{GC}$=$\frac{2GC}{GC}$=2．

點評 本題主要考查的是全等三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)和判定，掌握本題的輔助線的作法是解題的關(guān)鍵．