Question

8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，m+4），點(diǎn)C（5m+3，0）在x軸的正半軸上，現(xiàn)將點(diǎn)C向左平移4單位長(zhǎng)度再向上平移7個(gè)單位長(zhǎng)度得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)B（7m-7，n）．
（1）求m，n的值；
（2）若點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度沿CO方向移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿OA方向移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t秒（0＜t＜7），四邊形OPBA與△OQB的面積分別記為S₁，S₂．是否存在一段時(shí)間，使S₁＜2S₂？若存在，求出t的取值范圍；若不存在，試說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)C向左平移4單位長(zhǎng)度再向上平移7個(gè)單位長(zhǎng)度得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)B，列方程組解出即可；
（2）先根據(jù)動(dòng)點(diǎn)P、Q的速度表示出路程分別為：2t、t，再根據(jù)面積公式表示出S₁和S₂，代入S₁＜2S₂列不等式求t的取值范圍，并與0＜t＜7相結(jié)合得出t的取值．

解答 解：（1）由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{n=7}\\{5m+3-（7m-7）=4}\end{array}\right.$
解得：m=3，n=7，
（2）存在，如圖，
由（1）得：A（0，7），B（14，7），C（18，0），
由題意得：PC=2t，OQ=t，則OP=18-2t，
S₁=$\frac{1}{2}$（AB+OP）×OA=$\frac{1}{2}$×（14+18-2t）×7=-7t+112，
${S_2}=\frac{1}{2}t×14$=7t，
∵要滿足S₁＜2S₂，
∴-7t+112＜2×7t，
t＞$\frac{16}{3}$，
又∵0＜t＜7，
∴當(dāng)$\frac{16}{3}$＜t＜7時(shí)，S₁＜2S₂．

點(diǎn)評(píng) 本題是幾何變換的綜合題，考查了點(diǎn)的坐標(biāo)與平移的關(guān)系，還考查了動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所形成的圖形面積問(wèn)題，此類題的解題思路為：先表示動(dòng)點(diǎn)的路程，再根據(jù)圖形形狀直接或間接利用和、差表示圖形面積．