Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx-3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（-2，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，在線段AB上以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，在線段BC上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△PBQ存在時(shí)，求運(yùn)動(dòng)多少秒使△PBQ的面積最大，最大面積是多少？
（3）當(dāng)△PBQ的面積最大時(shí)，在BC下方的拋物線上存在點(diǎn)K，使S_△CBK：S_△PBQ=5：2，求K點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式，列出關(guān)于系數(shù)a、b的解析式，通過解方程組求得它們的值；
（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．利用三角形的面積公式列出S_△PBQ與t的函數(shù)關(guān)系式S_△PBQ=-

9

10

（t-1）²+

9

10

．利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行解答；
（3）利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式為y=

3

4

x-3．由二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可設(shè)點(diǎn)K的坐標(biāo)為（m，

3

8

m²-

3

4

m-3）．
如圖2，過點(diǎn)K作KE∥y軸，交BC于點(diǎn)E．結(jié)合已知條件和（2）中的結(jié)果求得S_△CBK=

9

4

．則根據(jù)圖形得到：S_△CBK=S_△CEK+S_△BEK=

1

2

EK•m+

1

2

•EK•（4-m），把相關(guān)線段的長(zhǎng)度代入推知：-

3

4

m²+3m=

9

4

．易求得K₁（1，-

27

8

），K₂（3，-

15

8

）．

解答：解：（1）把點(diǎn)A（-2，0）、B（4，0）分別代入y=ax²+bx-3（a≠0），得

4a-2b-3=0 16a+4b-3=0

，
解得

a= 3 8 b=- 3 4

，
所以該拋物線的解析式為：y=

3

8

x²-

3

4

x-3；

（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則AP=3t，BQ=t．
∴PB=6-3t．
由題意得，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3）．
在Rt△BOC中，BC=

32+42

=5．
如圖1，過點(diǎn)Q作QH⊥AB于點(diǎn)H．
∴QH∥CO，
∴△BHQ∽△BOC，
∴

HQ

OC

=

BQ

BC

，即

HQ

3

=

t

5

，
∴HQ=

3

5

t．
∴S_△PBQ=

1

2

PB•HQ=

1

2

（6-3t）•

3

5

t=-

9

10

t²+

9

5

t=-

9

10

（t-1）²+

9

10

．
當(dāng)△PBQ存在時(shí)，0＜t＜2
∴當(dāng)t=1時(shí)，
S_△PBQ最大=

9

10

．
答：運(yùn)動(dòng)1秒使△PBQ的面積最大，最大面積是

9

10

；

（3）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+c（k≠0）．
把B（4，0），C（0，-3）代入，得

4k+c=0 c=-3

，
解得

k= 3 4 c=-3

，
∴直線BC的解析式為y=

3

4

x-3．
∵點(diǎn)K在拋物線上．
∴設(shè)點(diǎn)K的坐標(biāo)為（m，

3

8

m²-

3

4

m-3）．
如圖2，過點(diǎn)K作KE∥y軸，交BC于點(diǎn)E．則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，

3

4

m-3）．
∴EK=

3

4

m-3-（

3

8

m²-

3

4

m-3）=-

3

8

m²+

3

2

m．
當(dāng)△PBQ的面積最大時(shí)，∵S_△CBK：S_△PBQ=5：2，S_△PBQ=

9

10

．
∴S_△CBK=

9

4

．
S_△CBK=S_△CEK+S_△BEK=

1

2

EK•m+

1

2

•EK•（4-m）
=

1

2

×4•EK
=2（-

3

8

m²+

3

2

m）
=-

3

4

m²+3m．
即：-

3

4

m²+3m=

9

4

．
解得 m₁=1，m₂=3．
∴K₁（1，-

27

8

），K₂（3，-

15

8

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和三角形的面積求法．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)要注意該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)范圍，即自變量的取值范圍．