Question

5．如圖，點(diǎn)C、D在以AB為直徑的⊙O上，且CD平分∠ACB，若AB=6，∠CBA=15°，則CD的長是（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 3$\sqrt{3}$
• D． 4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 連結(jié)DA、DB，作DE⊥BC于E，如圖，根據(jù)圓周角定理得到∠ADB=∠ACB=90°，∠ABD=∠BCD=45°，則可判斷△ABD和△CDE都為等腰直角三角形，所以DB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=3$\sqrt{2}$，再計(jì)算出∠DBC=60°，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到DE=$\sqrt{3}$BE=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，然后在Rt△CDE中利用等腰直角三角形的性質(zhì)求CD．

解答 解：連結(jié)DA、DB，作DE⊥BC于E，如圖，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠ABD=∠BCD=45°，
∴△ABD和△CDE都為等腰直角三角形，
∴DB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=3$\sqrt{2}$，
∵∠CBA=15°，
∴∠DBC=60°，
在Rt△BDE中，BE=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
DE=$\sqrt{3}$BE=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，
在Rt△CDE中，CD=$\sqrt{2}$DE=3$\sqrt{3}$．
故選C．

點(diǎn)評 本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．