Question

12．如圖1，若拋物線L₁的頂點A在拋物線L₂上，拋物線L₂的頂點B也在拋物線L₁上（點A與點B不重合），我們定義：這樣的兩條拋物L(fēng)₁，L₂互為“友好”拋物線，可見一條拋物線的“友好”拋物線可以有多條．
（1）如圖2，已知拋物線L₃：y=2x²-8x+4與y軸交于點C，試求出點C關(guān)于該拋物線對稱軸對稱的點D的坐標(biāo)；
（2）請求出以點D為頂點的L₃的友好拋物線L₄的解析式，并指出L₃與L₄中y同時隨x增大而增大的自變量的取值范圍；
（3）若拋物y=a₁ （x-m）²+n的任意一條友好拋物線的解析式為y=a₂ （x-h）²+k，請寫出a₁與a₂的關(guān)系式，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)x=0，求出y的值，即可得到C的坐標(biāo)，把拋物線L₃：y=2x²-8x+4配方即可得到拋物線的對稱軸，由此可求出點C關(guān)于該拋物線對稱軸對稱的對稱點D的坐標(biāo)；
（2）由（1）可知點D的坐標(biāo)為（4，4），再由條件以點D為頂點的L₃的“友好”拋物線L₄的解析式，可求出L₄的解析式，進(jìn)而可求出L₃與L₄中y同時隨x增大而增大的自變量的取值范圍；
（3）根據(jù)：拋物線L₁的頂點A在拋物線L₂上，拋物線L₂的頂點B也在拋物線L₁上，可以列出兩個方程，相加可得（a₁+a₂）（h-m）²=0．可得a₁=-a₂．

解答 解：（1）∵拋物線L3：y=2x²-8x+4，
∴y=2（x-2）²-4，
∴頂點為（2，4），對稱軸為x=2，
設(shè)x=0，則y=4，
∴C（0，4），
∴點C關(guān)于該拋物線對稱軸對稱的對稱點D的坐標(biāo)為：（4，4）；

（2）∵以點D（4，4）為頂點的L3的友好拋物線L₄還過點（2，-4），
∴L₄的解析式為y=-2（x-4）²+4，
由圖象可知，當(dāng)2≤x≤4時，拋物線L₃與L₄中y同時隨x增大而增大；

（3）a₁與a₂的關(guān)系式為a₁+a₂=0或a₁=-a₂．…8分
理由如下：
∵拋物線y=a₁ （x-m）²+n的一條“友好”拋物線的解析式為y=a₂ （x-h）²+k，
∴y=a₂ （x-h）²+k過點（m，n），且y=a₁ （x-m）²+n過點（h，k），即
k=a₁ （h-m）²+n…①
n=a₂ （m-h）²+k…②
由①+②得（a₁+a₂）（h-m）²=0．          
又“友好”拋物線的頂點不重合，
∴h≠m，
∴a₁+a₂=0或a₁=-a₂．

點評 本題屬于二次函數(shù)的綜合題，涉及了拋物線的對稱變換、拋物線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)以及新定義的問題，解答本題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，特別是（3）問根據(jù)已知條件得出方程組求解，有一定難度．