Question

已知：如圖，點E在△ABC的邊AC上，且∠AEB=∠ABC．
（1）求證：∠ABE=∠C；
（2）若∠BAE的平分線AF交BE于F，F(xiàn)D∥BC交AC于D，設(shè)AB=6，AC=10，求DC的長；
（3）若BE平分∠ABC，AF平分∠BAC，且FD∥BC交AC于點D，連接FC，則△DFC是什么三角形？為什么？

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),平行線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)∠AEB=∠EBC+∠C、∠ABC=∠EBC+∠ABE和∠AEB=∠ABC，即可求得∠ABE=∠C；
（2）易證∠ADF=∠ABF和∠ADF=∠ABF，即可證明△BAF≌△DAF，可得AD=AB，即可解題；
（3）過點F分別作FH⊥AB，F(xiàn)N⊥BC，F(xiàn)M⊥AC，連接FC，易證FH=FN，和FH=FM，可得FM=FN，即可求得∠MCF=∠NCF，再根據(jù)∠DFC=∠BCF，即可求證△DFC是等腰三角形．

解答：（1）證明：∵∠AEB=∠ABC，
且∠AEB=∠EBC+∠C，∠ABC=∠EBC+∠ABE，
∴∠EBC+∠C=∠EBC+∠ABE，
∴∠ABE=∠C；
（2）解：∵∠BAE的平分線AF交BE于F，
∴∠BAF=∠DAF，
∵FD∥BC交AC于D，
∴∠ADF=∠C，
∵∠ABE=∠C，
∴∠ADF=∠ABE，即∠ADF=∠ABF，
在△BAF和△DAF中，

∠ADF=∠ABF ∠BAF=∠DAF AF=AF

，
∴△BAF≌△DAF（AAS），
∴AD=AB=6，
∴DC=AC-AD=10-6=4．
（3）解：△DFC是等腰三角形．
理由：過點F分別作FH⊥AB，F(xiàn)N⊥BC，F(xiàn)M⊥AC，連接FC，

∵BF平分∠ABC，
∴FH=FN，
∵AF平分∠BAC，
∴FH=FM，
∴FM=FN，
∴∠MCF=∠NCF，
∵FD∥BC，
∴∠DFC=∠BCF，
∴∠DFC=∠MCF，
∴DF=DC，
∴△DFC是等腰三角形．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△BAF≌△DAF是解題的關(guān)鍵．