Question

7．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在AB上，且DE∥AC，AE=5，DE=2，DC=3，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊AC以每秒2個單位長的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動，同時動點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，在線段CD上以每秒1個單位長的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．
（1）線段AC的長=6；
（2）當(dāng)△PCF與△EDF相似時，求t的值．

Answer 1

分析 （1）作EH⊥AC于H，如圖，易得四邊形CDEH為矩形，從而得到CH=DE=2，EH=CD=3，然后利用勾股定理計算出AH即可得到AC的長；
（2）CF=t，PA=2t，則DF=3-t，CP=6-2t，0＜t＜3，由于∠C=∠FDE，根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可分類討論：若$\frac{CF}{DF}$=$\frac{CP}{DE}$時，△CFP∽△DFE，若$\frac{CF}{DE}$=$\frac{CP}{DE}$，則△CFP∽△DEF，然后分別利用相似比得到關(guān)于t的方程，再解方程求出t即可．

解答 解：（1）作EH⊥AC于H，如圖，
∵∠C=90°，DE∥AC，
∴四邊形CDEH為矩形，
∴CH=DE=2，EH=CD=3，
在Rt△AEH中，AH=$\sqrt{A{E}^{2}-E{H}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴AC=CH+AH=2+4=6；
（2）CF=t，PA=2t，則DF=3-t，CP=6-2t，0＜t＜3，
∵∠C=∠FDE，
∴當(dāng)$\frac{CF}{DF}$=$\frac{CP}{DE}$時，△CFP∽△DFE，即$\frac{t}{3-t}$=$\frac{6-2t}{2}$，整理得t²-7t+9=0，解得t₁=$\frac{7-\sqrt{13}}{2}$，t₂=$\frac{7+\sqrt{13}}{2}$（舍去），
∴當(dāng)$\frac{CF}{DE}$=$\frac{CP}{DE}$時，△CFP∽△DEF，即$\frac{t}{2}$=$\frac{6-2t}{3-t}$，t=4（舍去），
綜上所述，t的值為$\frac{7-\sqrt{13}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．也考查了勾股定理．