Question

19．已知拋物線與x軸的兩個交點間距離是4，開口向下，頂點A（m，4）在第一象限，且拋物線過點（1，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若拋物線與x軸的正半軸交于點B，連接AB，點C是拋物線上一動點，連接OC、AC和BC，若△OBC與△ABC面積相等，求點C的坐標．

Answer 1

分析 （1）設拋物線的解析式為y=a（x-m）²+4，然后根據(jù)條件求出a、m的值；
（2）設C（x，y），根據(jù)△OBC與△ABC面積相等列出方程即可求出C的坐標．

解答 解：（1）拋物線的解析式為y=a（x-m）²+4，
∴y=ax²-2amx+am²+4，
設拋物線與x軸的兩個交點為x₁，x₂，
由題意可知：|x₁-x₂|=4，x₁+x₂=2m，x₁x₂=m²+$\frac{4}{a}$，
∵（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂，
∴16=4m²-4（m²+$\frac{4}{a}$）
∴16=-$\frac{16}{a}$，
∴a=-1，
∴y=-x²+2mx-m²+4，
∵拋物線過點（1，3），
∴3=-1+2m-m²+4，
解得：m=0或m=2，
∴拋物線的解析式為：y=-x²+4x．
（2）設點C的坐標為（x，y），
過點C作CD⊥y軸交直線AB于點D，作CF⊥x軸于點F，
過點A作AE⊥y軸于點E，
易求得：B（4，0），E（0，4）
∴CF=|y|，OB=4，OE=4，
易知：S_△OBC=$\frac{1}{2}$OB•CF=2|y|，
設直線AB的解析式為：y=kx+b，
將A（2，4）和B（4，0）代入y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4=2k+b}\\{0=4k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為：y=-2x+8，
∴D（$\frac{8-y}{2}$，y），
∴CD=|$\frac{8-y}{2}$-x|，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$OE•CD=2×|$\frac{8-y}{2}$-x|，
由題意可知：2|y|=2×|$\frac{8-y}{2}$-x|，
化簡可得：±y=$\frac{8-y}{2}$-x，
當y=$\frac{8-y}{2}-x$時，
∵y=-x²+4x，
∴兩式聯(lián)立可得：3x²-14x+8=0
解得：x=$\frac{2}{3}$或x=4（舍去），
∴C（$\frac{2}{3}$，$\frac{20}{3}$），
當-y=$\frac{8-y}{2}-x$時
∵y=-x²+4x，
∴兩式聯(lián)立可得：x²-2x-8=0，
∴x=-2或x=4（舍去），
∴C（-2，-12）
綜上所述，C（$\frac{2}{3}$，$\frac{20}{3}$）或（-2，-12）

點評 本題考查二次函數(shù)的綜合問題，涉及待定系數(shù)法求解析式，三角形面積公式，解方程等知識，綜合程度較高，需要學生靈活運用所學知識．