Question

11．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥MN于點(diǎn)D，BE⊥MN于點(diǎn)E
（1）當(dāng)直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，如圖①的位置時(shí)，①試說(shuō)明△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE
（2）當(dāng)直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，如圖②的位置時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出DE，AD，BE之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)AAS證明△ADC≌△CEB；
②由全等得：AD=CE，DC=EB，代入DE=DC+CE即可；
（2）DE=AD-BE，理由是：同理得△ACD≌△CBE，得AD=CE，CD=BE，代入DE=CE-CD得結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，①∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠ECB=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ADC和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠CEB}\\{∠DAC=∠ECB}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
②∵△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，DC=EB，
∵DE=DC+CE，
∴DE=AD+BE；
（2）如圖2，DE=AD-BE，理由是：
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∵AD⊥MN，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠BCD=∠CAD，
在△ACD和△CBE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠BCD=∠CAD}\\{∠ADC=∠CEB}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∵DE=CE-CD，
∴DE=AD-BE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰直角三角形和全等三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握全等三角形的四種判定方法是關(guān)鍵：SSS、SAS、AAS、ASA；在證明線段的和與差時(shí)，利用全等三角形將線段轉(zhuǎn)化到同一條直線上得出結(jié)論．