Question

11．如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．
（1）求證：四邊形AECD是菱形；
（2）如果點E是AB的中點，AC=4，EC=2.5，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）由“鄰邊相等的平行四邊形為菱形”進行證明；
（2）根據(jù)菱形的性質和等腰三角形的性質推知△ABC是直角三角形，所以結合直角三角形的面積求法和圖形得到：四邊形ABCD的面積=S_△AEC+S_△EBC+S_△ACD．

解答 （1）證明：∵AB∥CD，CE∥AD，
∴四邊形AECD是平行四邊形，…（1分）；
∵AC平分∠BAD，
∴∠EAC=∠DAC，
∵AB∥CD，
∴∠EAC=∠ACD，
∴∠DAC=∠ACD，
∴AD=CD，
∴四邊形AECD是菱形．

（2）解：∵四邊形AECD是菱形，
∴AE=CE，
∴∠EAC=∠ACE，
∵點E是AB的中點，
∴AE=BE，
∴∠B=∠ECB，
∴∠ACE+∠ECB=90°，即∠ACB=90°；
∵點E是AB的中點，EC=2.5，
∴AB=2EC=5，
∴BC=3．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AC=6．
∵點E是AB的中點，四邊形AECD是菱形，
∴S_△AEC=S_△EBC=S_△ACD=3．
∴四邊形ABCD的面積=S_△AEC+S_△EBC+S_△ACD=9．

點評 本題考查了菱形的判定與性質．解答（2）題時，利用了菱形的性質、直角三角形的判定等知識點，借用了“分割法”求得四邊形ABCD的面積．