Question

14．如圖，拋物線y=ax²+bx經(jīng)過A（2，0），B（3，-3）兩點，拋物線的頂點為C，動點P在直線OB上方的拋物線上，過點P作直線PM∥y軸，交x軸于M，交OB于N，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m．
（1）求拋物線的解析式及點C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)△PON為等腰三角形時，點N的坐標(biāo)為（1，-1），（2，-2），（3-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$-3）；當(dāng)△PMO∽△COB時，點P的坐標(biāo)為（$\frac{5}{3}$，$\frac{5}{9}$），（$\frac{7}{3}$，-$\frac{7}{9}$）；（直接寫出結(jié)果）
（3）直線PN能否將四邊形ABOC分為面積比為1：2的兩部分？若能，請求出m的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，即可得出結(jié)論；
（2）①設(shè)出點P的坐標(biāo)表示出PN²，OP²，ON²，分三種情況用等腰三角形的腰建立方程求解即可；
②設(shè)出點P的坐標(biāo)，表示出PM，OM，再求出OB，OC，最后利用相似三角形得出的比例式即可求出點P的坐標(biāo)；
（3）先求出四邊形ABOC的面積，再分三種情況討論計算．

解答 解：（1）根據(jù)題意，得$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b=0}\\{9a+3b=-3}\end{array}\right.$，解這個方程組得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x
當(dāng)x=-$\frac{2a}$=1時，y=-x²+2x=1，
∴C（1，1）

（2）①∵B（3，-3），
∴直線OB的解析式為y=-x，
∵P的橫坐標(biāo)為m（0＜m＜3），
∴P（m，-m²+2m），
∴N（m，-m），
∴PN²=（-m²+3m）²，OP²=m²+（-m²+2m）²，ON²=2m²，
當(dāng)△PON為等腰三角形時，
①當(dāng)OP=ON時，m²+（-m²+2m）²=2m²，
∴m=0（舍）或m=1或m=3（舍），
∴N（1，-1）
②當(dāng)OP=PN時，（-m²+3m）²=m²+（-m²+2m）²，
∴m=0（舍）或m=2，
∴N（2，-2），
③當(dāng)ON=PN時，（-m²+3m）²=2m²，
∴m=0（舍）或m=3+$\sqrt{2}$（舍）或m=3-$\sqrt{2}$，
∴N（3-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$-3），
故答案為：（1，-1），（2，-2），（3-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$-3）

②∵P的橫坐標(biāo)為m（0＜m＜3），
∴P（m，-m²+2m），
∴M（m，0），
∴PM=|-m²+2m|，OM=m，
∵B（3，-3），
∴OB=3，
由（1）知，C（1，1），
∴OC=1，
∵△PMO∽△COB，
∴$\frac{PM}{OC}=\frac{OM}{OB}$，
∴$\frac{|-{m}^{2}+2m|}{1}=\frac{m}{3}$，
∴m=$\frac{5}{3}$或m=$\frac{7}{3}$，
∴P（$\frac{5}{3}$，$\frac{5}{9}$）或（$\frac{7}{3}$，-$\frac{7}{9}$），
故答案為：（$\frac{5}{3}$，$\frac{5}{9}$），（$\frac{7}{3}$，-$\frac{7}{9}$），

（3）如圖1，作BD⊥x軸于D，作CE⊥x軸于E，交OB于F
則BD=OD=3，CE=OE=1，OC=AC
∴△ODB，△OCE，△AOC均為等腰直角三角形，
∴S_{四邊形ABOC}=S_△OAC+S_△OAB=$\frac{1}{2}OA•CE$+$\frac{1}{2}$OA•BD=4
∴∠AOC=∠AOB=∠OAC=45°
∵PM∥y軸，
∴OM⊥PN，∠MNO=∠AOB=45°，
∴OM=MN=m，OE=EF=1
①∵S△OCF=$\frac{1}{2}$CF•OE=1$＜\frac{1}{3}$×4
∴當(dāng)0＜m≤1時，不能滿足條件，
②當(dāng)1＜m≤2時，如圖2，設(shè)PN交AC于Q，則MQ=MA=2-m，
S_{四邊形OCQN}=S_△OAC+S_△OMN-S_△AMQ=$\frac{1}{2}$OA•CE+$\frac{1}{2}$OM•MN-$\frac{1}{2}$AM•MQ=2m-1，
由S_{四邊形OCQM}=$\frac{1}{3}$S_{四邊形ABOC}，得2m-1=$\frac{1}{3}$×4，解得m=$\frac{7}{6}$，
而1＜$\frac{7}{6}$＜2，符合題意，
由S_{四邊形OCQN}=$\frac{2}{3}$S_{四邊形ABOC}，得2m-1=$\frac{8}{3}$，解得m=$\frac{11}{6}$
而1＜$\frac{11}{6}$＜2，符合題意，
③當(dāng)2＜m＜3時，如圖2，作AG⊥x軸，交OB于G，
則AG=OA=2，AD=1
∴S_△ABG=$\frac{1}{2}$AG•AD=1＜$\frac{1}{3}$×4
∴當(dāng)2＜m＜3時，不能滿足條件
∴m=$\frac{7}{6}$或m=$\frac{11}{6}$．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，幾何圖形面積的計算方法，解（1）的關(guān)鍵是用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；解（2）的關(guān)鍵是分類建立求解，解（3）的關(guān)鍵是求出四邊形ABOC的面積．