Question

9．如圖所示，Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，BC=2，⊙O是△ABC的外接圓，D是CB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且BD=1，連接DA，點(diǎn)P是射線(xiàn)DA上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求證DA是⊙O的切線(xiàn)；
（2）DP的長(zhǎng)度為多少時(shí)，∠BPC的度數(shù)最大，最大度數(shù)是多少？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，（PB+PC）的值能否達(dá)到最小，若能，求出這個(gè)最小值，若不能，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先判斷出△ABO是等邊三角形，進(jìn)而得出∠ADC=30°，即可得出∠DAO=90°即可得出結(jié)論；
（2）判斷出∠BPC最大時(shí)的點(diǎn)P的位置；
（3）利用對(duì)稱(chēng)性確定出PB+PC=BC'利用勾股定理計(jì)算即可．

解答 （1）證明：如圖，連接AO，
∵∠=30°，
∴∠AOB=2∠C=60°
∴△ABO是等邊三角形，AB=BD=1，
∴∠ADC=∠DAB=$\frac{1}{2}$∠ABO=30°，
∵∠AOC=60°，
∴∠DAO=90°，
∴DA是⊙O的切線(xiàn)；


（2）解：如圖1，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到A處時(shí)，
即DP=DA=$\sqrt{3}$時(shí)，∠BPC的度數(shù)達(dá)到最大，為90^°．
理由如下：若點(diǎn)P不在A處時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)P在DA的延長(zhǎng)線(xiàn)上的時(shí)，
連接BP，與⊙O交于一點(diǎn)，記為點(diǎn)E，
連接CE，
則∠BPC＜∠BEC=∠BAC=90°．


（3）解：如圖2，作點(diǎn)C關(guān)于射線(xiàn)DA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，
則BP+PC=BP+PC′，
當(dāng)點(diǎn)C′，P，B三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，（BP+PC′）的值達(dá)到最小，最小值為BC′．
過(guò)點(diǎn)C′作DC的垂線(xiàn)，垂足記為點(diǎn)H，連接DC′，
在Rt△DCP中，∠PDC=30°，
∴△DCC′為等邊三角形，
故H為DC的中點(diǎn)，
∴BH=DH-DB=$\frac{1}{2}$CD-DB=$\frac{3}{2}$-1=$\frac{1}{2}$，C'H=$\sqrt{3}$DH=$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$
在Rt△BC'H中，根據(jù)勾股定理得，BC'=$\sqrt{B{H}^{2}+C'{H}^{2}}$=$\sqrt{7}$．
∴（BP+PC）的最小值為$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是圓的綜合題，主要考查了圓的性質(zhì)，切線(xiàn)的判定，極值的確定方法，對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，勾股定理，解（1）的關(guān)鍵是求出∠ADC=30°，解（2）的關(guān)鍵是判斷出∠BPC最大時(shí)的點(diǎn)P的位置，解（3）的關(guān)鍵是判斷出PB+PC的最小值=BC'是一道中等難度的中考常考題．