Question

10．如圖，△ABC中，AB=AC，△ABD和△ACE都是等邊三角形，BD和CE相交于點O，AO的延長線交BC于H，求證：H是BC的中點．

Answer 1

分析 根據(jù)全等三角形的判定與性質，可得∠AFC=∠AGB，根據(jù)外角的性質，可得∠ABC+∠FCB=∠AFC，∠ACB+∠CBG=∠AGB，根據(jù)等腰三角形的判定，可得OB與OC的關系，根據(jù)線段垂直平分線的判定，可得答案．

解答 證明：AB交EC于F，AC交BD于G，如圖，
，
∠BAC為公共角，∠ABD=∠ACE=60°．
∵AB=AC，
∠ABC=∠ACB．
在△ABG和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAG=∠CAF}\\{AB=AC}\\{∠ABG=∠ACF}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△ACF（ASA），
∴∠AFC=∠AGB．
∵∠AFC是△BFC的外角，∠AGB是△BCG的外角，
∴∠ABC+∠FCB=∠AFC，∠ACB+∠CBG=∠AGB，
∴∠OBC=∠OCB，
∴OB=OC．
∵AB=AC，
∴AO是BC的垂直平分線，
∴AH是BC邊上的中線，
∴H是BC的中點．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質，利用全等三角形的判定與性質得出∠AFC=∠AGB是解題關鍵，又利用了先端垂直平分線的判定．