Question

19．如圖，以△ABC的邊AB，AC為邊長向外作等邊△ABD和等邊△ACE，連接BE，CD相交于點O．△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=30°，且BC=2，OB的長為$\frac{4\sqrt{7}}{7}$．

Answer 1

分析 過點B作BF⊥CD于點F，先證明△ADC≌△ABE，可知∠ADC=∠ABE，所以∠DAB=∠DOB=60°，由因為∠ABC+∠DBA=90°，所以可求出DB、CD、BF的長度，進而求出OB的長．

解答 解：過點B作BF⊥CD于點F，
由題題可知：AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠AEC=60°，
∴∠DAC=∠BAE，
在△ADC與△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAC=∠BAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴∠ADC=∠ABE，
∴∠DAB=∠DOB=60°，
∵∠DBC=∠DBA+∠ABC，
∴∠DBC=90°，
∵BC=2，
∴AC=1，AB=$\sqrt{3}$，
∴DB=$\sqrt{3}$，
由勾股定理可知：CD=$\sqrt{7}$，
∵DB•BC=CD•BF，
∴BF=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，
∴sin∠BOF=$\frac{BF}{OB}$，
∴OB=$\frac{BF}{sin60°}$=$\frac{4\sqrt{7}}{7}$
故答案為：$\frac{4\sqrt{7}}{7}$

點評 本題考查全等三角形的綜合問題，涉及全等三角形的性質與判定，勾股定理，等邊三角形的性質．