Question

如圖所示，AB是⊙O的直徑，AD與⊙O相切于點A，DE與⊙O相切于點E，點C為DE延長線上一點，且CE=CB．
（1）求證：BC為⊙O的切線；
（2）若AB=4，AD=1，求線段CE的長．

Answer 1

考點：切線的判定與性質

專題：

分析：（1）由切線得出∠OEC=90°，證明△OBC≌△OEC，得出∠OBC=∠OEC=90°，證出BC為⊙O的切線；
（2）作輔助線求出DF=AB=4，BF=AD=1，設CE=x，Rt△CDF中，根據勾股定理得：（x+1）²-（x-1）²=16，得出x=4即可．

解答：（1）證明：連接OE，OC；如圖所示：
∵DE與⊙O相切于點E
∴∠OEC=90°，
在△OBC和△OEC中，

OB=OE   CB=CE   OC=OC

，
∴△OBC≌△OEC（SSS），
∴∠OBC=∠OEC=90°，
∴BC為⊙O的切線；
（2）過點D作DF⊥BC于F；如圖所示：設CE=x
∵CE，CB為⊙O切線，
∴CB=CE=x，
∵DE，DA為⊙O切線，
∴DE=DA=1，
∴DC=x+1，
∵∠DAB=∠ABC=∠DFB=90°
∴四邊形ADFB為矩形，
∴DF=AB=4 BF=AD=1，
∴FC=x-1，
Rt△CDF中，根據勾股定理得：
（x+1）²-（x-1）²=16，
解得：x=4，
∴CE=4．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質以及切線的判定與性質；根據切線的性質利用勾股定理計算是解決問題的關鍵．