Question

14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以A（3，0）為圓心，以5為半徑的圓與x軸相交于B、C，與y軸的負(fù)半軸相交于D，拋物線y=$\frac{1}{4}$x²+bx+c經(jīng)過B、C、D三點．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若動直線MN（MN∥x 軸）從點D開始，以每秒1個長度單位的速度沿y軸的正方向移動，且與線段CD、y軸分別交于M、N兩點，動點P同時從點C出發(fā)，在線段OC上以每秒2個長度單位的速度向原點O運動，連接PM，設(shè)運動時間為t秒，
①若以P、C、M為頂點的三角形與△OCD相似，求實數(shù)t的值；
②當(dāng)t為何值時，$\frac{MN•OP}{MN+OP}$的值最大，并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）直接利用圓的性質(zhì)得出B，C點坐標(biāo)，進而利用交點式求出函數(shù)解析式；
（2）①直接利用若△PCM∽△OCD或△MCP∽△OCD，分別得出t的值求出答案即可；
②利用MN∥OC，則$\frac{MN}{DN}$=$\frac{CO}{DO}$，進而求出$\frac{MN•OP}{MN+OP}$關(guān)于t的關(guān)系式求出最值即可．

解答 解：（1）∵A（3，0）為圓心，以5為半徑的圓與x軸相交于B、C，
∴B（-2，0），C（8，0），
代入拋物線y=$\frac{1}{4}$（x+2）（x-8），
得y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4；

（2）①由題可得N（0，t-4），P（8-2t，0），
若△PCM∽△OCD，
則$\frac{PC}{PM}$=$\frac{OC}{OD}$，即$\frac{2t}{4-t}$=$\frac{8}{4}$，
解得t=2；
若△MCP∽△OCD，則$\frac{PC}{MC}$=$\frac{DC}{OC}$，即$\frac{2t}{4\sqrt{5}-\sqrt{5}t}$=$\frac{4\sqrt{5}}{8}$，
解得t=$\frac{20}{9}$，
即當(dāng)t=2或t=$\frac{20}{9}$時，以P、C、M為頂點的三角形與△OCD相似．

②∵MN∥OC，
∴$\frac{MN}{DN}$=$\frac{CO}{DO}$，即MN=2t，
又∵OP=8-2t，
∴$\frac{MN•PO}{MN+PO}$=$\frac{2t（8-2t）}{2t+8-2t}$=-$\frac{1}{2}$（t-2）²+2，
∴當(dāng)t=2時取最大值2．

點評 此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確利用分類討論求出t的值是解題關(guān)鍵．