Question

11．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=6．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿射線BC以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P，Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連結(jié)PQ，QA．
設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0），
（1）當(dāng)CQ=2BP時(shí)，求t的值；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，QP=QA；
（3）若線段PQ的中垂線與線段BC相交，（包括線段的端點(diǎn)），則t的取值范圍是1.5≤t≤3（ 直接寫(xiě)出答案）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AB，根據(jù)題意列出方程，解方程即可；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出PE、BE，根據(jù)勾股定理列方程，解方程求出t；
（3）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理列式計(jì)算．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠BAC=30°，
∴AB=2BC=12，AC=6$\sqrt{3}$，
由題意得，CQ=2t，BP=12-2t，
則2t=2（12-2t），
得t=4；

（2）作PE⊥BQ于E，
則PE∥AC，
∴△BPE∽△BAC，
∴$\frac{PE}{AC}$=$\frac{BE}{BC}$=$\frac{BP}{BA}$，
解得，PE=6$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，BE=6-t，
則EQ=EC+CQ=3t，
∴PQ²=3（6-t）²+9t²，
∵∠ACQ=90°，
∴AQ²=AC²+CQ²=108+4t²，
由題意得，108+4t²=3（6-t）²+9t²，
解得，t=4.5；

（3）當(dāng)BP=BQ時(shí)，12-2t=6+2t，
解得，t=1.5，
當(dāng)CP=CQ時(shí)，3（6-t）²+t²=（2t）²，
解得，t=3，
則當(dāng)1.5≤t≤3時(shí)，線段PQ的中垂線與線段BC相交，
故答案為：1.5≤t≤3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，掌握直角三角形的性質(zhì)、靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．