Question

9．如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點F在⊙O上，且滿足$\widehat{BC}$=$\widehat{CF}$，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點D，交AF的延長線于點E．
（1）求證：AE⊥DE．
（2）若$\widehat{BC}$=$\widehat{CF}$=60°，AF=4，求CE的長．

Answer 1

分析 （1）連接OC，求出∠EAC=∠OCA，根據(jù)平行線的判定得出OC∥AE，即可得出答案；
（2）求出∠BAC=∠EAC=30°，∠OAF=60°，求出△OAF為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出OA=AF=4，AB=8，解直角三角形求出AC，再解直角三角形求出AE即可．

解答 （1）證明：連結(jié)OC，

∵OC=OA，
∴∠BAC=∠OCA，
∵$\widehat{BC}$=$\widehat{CF}$，
∴∠BAC=∠EAC，
∴∠EAC=∠OCA，
∴OC∥AE，
∵DE切⊙O于點C，
∴OC⊥DE，
∴AE⊥DE；

（2）解：連結(jié)OF，

∵$\widehat{BC}$=$\widehat{CF}$=60°，
∴∠BAC=∠EAC=30°，∠OAF=∠BAC+∠EAC=60°，
∵OF=OA，
∴△OAF為等邊三角形，
∴OA=AF=4，AB=8，
∵AB是⊙O的直徑，
∴△ABC是直角三角形，
∴在Rt△ACB中，AC=4$\sqrt{3}$，
∵△AEC為直角三角形，∠EAC=30°，
∴CE=$\frac{1}{2}$AC=2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形等知識點，能綜合運用知識點進行推理是解此題的關(guān)鍵．