Question

17．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D、E分別是線段AB、BC的中點，連接DE，將△DBE沿直線BC翻折得△FBE，連接FC、DC．
（1）求證：四邊形BFCD為菱形；
（2）若AB=12，sinA=$\frac{2}{3}$，求四邊形ABFC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形即可證明．
（2）先證明S_{四邊形ABFC}=3S_△ADC=$\frac{3}{2}$S_△ABC，然后求出△ABC的面積即可．

解答 （1）證明：∵∠ACB=90°，BD=AD，
∴CD=DB=DA，
∵△BEF是由△BED翻折，
∴BF=BD，BC是DF的垂直平分線，
∴CF=CD，
∴BF=FC=CD=DB，
∴四邊形BDCF是菱形．
（2）解：在RT△ABC中，AB=12，sinA=$\frac{2}{3}$，
∴BC=AB•sinA=8，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=4$\sqrt{5}$
∵四邊形BDCF是菱形，BD=AD，
∴S_△BCF=S_△BCD=S_△ACD，
∴S_{四邊形ABFC}=3S_△ADC=$\frac{3}{2}$S_△ABC=$\frac{3}{2}$×$\frac{1}{2}$×$4\sqrt{5}$×8=24$\sqrt{5}$．

點評 本題考查菱形的判定和性質(zhì)、翻折的性質(zhì)、三角函數(shù)四邊形的面積等知識，把四邊形面積轉(zhuǎn)化為求三角形面積，可以簡便運算，屬于基礎(chǔ)題．