Question

12．如圖，等腰直角△ACB中，BC=AC=4，∠ACB=90°，點(diǎn)P為△ACB內(nèi)一點(diǎn)，連BP，CP，若∠CBP=∠PCB=15°，則PA的長為4．

Answer 1

分析 以PC為邊在△ACP內(nèi)作等邊三角形△PCQ，連接AQ，由△BCP≌△ACQ推出∠QCA=∠QAC=15°、QA=QC=QP，再證明∠PQA=150°得∠QPA=∠QAP=15°，可以得∠APC=∠ACP=75°，所以PA=AC，由此解決問題．

解答 解：如圖以PC為邊在△ACP內(nèi)作等邊三角形△PCQ，連接AQ．
∵∠ACB=90°，∠PCQ=60°，∠BCP=∠PBC=15°，
∴∠ACQ=∠ACQ=15°，PC=PB，CP=CQ，
在△BCP和△ACQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCP=∠ACQ}\\{CP=CQ}\end{array}\right.$，
∴△BCP≌△ACQ，
∴∠CBP=∠CAQ=15°=∠ACQ，
∴QC=QA=PQ，∠CQA=180°-∠QCA-∠QAC=150°，
∵∠PQA=360°-∠PQC-∠AQC=150°，
∴∠QPA=∠QAP=15°，
∴∠APC=∠CPQ+∠APQ=75°，∠PCA=90°-∠BCP=75°，
∴∠APC=∠ACP，
∴PA=AC=4．
故答案為4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，作等邊三角形△PCQ，構(gòu)造全等三角形是解決問題的關(guān)鍵，題目有點(diǎn)難度．