Question

AB是⊙O的直徑，直線CD切⊙O于點C，AC平分∠DAB．
（1）求證：AD⊥CD；
（2）若AC=2，AD=

3

，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接OC，由題意得OC⊥CD．又因為AC平分∠DAB，則∠1=∠2=

1

2

∠DAB．即可得出AD∥OC，則AD⊥CD；
（2）連接BC，則∠ACB=90°，可證明△ADC∽△ACB．則

AD

AC

=

AC

2R

，從而求得R．

解答：（1）證明：連接OC，
∵直線CD與⊙O相切于C點，AB是⊙O的直徑，
∴OC⊥CD．
又∵AC平分∠DAB，
∴∠1=∠2=

1

2

∠DAB．
又∵∠COB=2∠1=∠DAB，
∴AD∥OC，
∴AD⊥CD．

（2）解：連接BC，則∠ACB=90°，
在△ADC和△ACB中，∵∠1=∠2，∠3=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB．
∴

AD

AC

=

AC

2R

∴R=

AC2

2AD

=

2 3

3

點評：本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)，是中檔題，難度不大．