Question

如圖，在四邊形ABCD中，DE∥BC，BD=CD，∠BCE=90°，以BD為直徑的⊙O交CE于F、G，交BC于M．
（1）求證：BC=2DE；（2）求證：EF=CG．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理

專題：

分析：（1）連接DM，由等腰三角形的性質(zhì)可得BM=CM，再證明四邊形DECM是矩形可得DE=CM，進而證明BC=2DE；
（2）連接DF，GM，證明△RtDEF≌Rt△MCG即可得到EF=CG．

解答：證明：（1）連接DM，
∵BD為⊙O的直徑，
∴∠DMC=90°，
∴DM⊥BC，
∵BD=CD，
∴BM=CM，
∵∠BCE=90°，
∴DM∥CE，
∵DE∥BC，
∴四邊形DECM是矩形，
∴DE=CM；
∴BC=2DE；

（2）連接DF，GM，
∵DM∥EC，
∴∠MDC=∠DCE，
∴MG=DF，
∵四邊形DECM是矩形，
∴DE=CM，∠DEF=∠MCG=90°，
在△RtDEF和Rt△MCG中，

DE=CM DF=MG

，
∴△RtDEF≌Rt△MCG（HL），
∴EF=CG．

點評：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及矩形的判定和性質(zhì)，同時也考查了學生的推理證明的能力．