Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x²-（m-1）x-m（m＞0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)S_△ABC=15時(shí)，求該拋物線的表達(dá)式；
（3）在（2）的條件下，經(jīng)過點(diǎn)C的直線l：y=kx+b（k＜0）與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D．該拋物線在直線l上方的部分與線段CD組成一個(gè)新函數(shù)的圖象．請(qǐng)結(jié)合圖象回答：若新函數(shù)的最小值大于-8，求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）對(duì)于拋物線解析式，令y=0得到關(guān)于x的方程，求出方程的解，根據(jù)A在B的左側(cè)且m大于0，求A的坐標(biāo)即可；
（2）由（1）的結(jié)果表示出B的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線與y軸交于點(diǎn)C，表示出C坐標(biāo)，進(jìn)而表示出AB與OC，由三角形ABC面積為15，利用三角形面積公式列出關(guān)于m的方程，求出方程的解得到m的值，即可確定出拋物線解析式；
（3）由（2）中m的值確定出C坐標(biāo)，設(shè)直線l解析式為y=kx+b，把C坐標(biāo)代入求出b的值，拋物線解析式配方后，經(jīng)判斷得到當(dāng)點(diǎn)D在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，新函數(shù)的最小值有可能大于-8，令y=-8求出x的值，確定出拋物線經(jīng)過點(diǎn)（3，-8），把（3，-8）代入一次函數(shù)解析式求出k的值，由圖象確定出滿足題意k的范圍即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=x²-（m-1）x-m（m＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，
∴令y=0，即x²-（m-1）x-m=0，
解得：x₁=-1，x₂=m，
又∵點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)，且m＞0，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0）；

（2）由（1）可知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，0），
∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-m），
∵m＞0，
∴AB=m+1，OC=m，
∵S_△ABC=15，
∴

1

2

m（m+1）=15，即m²+m-30=0，
解得：m=-6或m=5，
∵m＞0，
∴m=5；
則拋物線的表達(dá)式為y=x²-4x-5；

（3）由（2）可知點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-5），
∵直線l：y=kx+b（k＜0）經(jīng)過點(diǎn)C，
∴b=-5，
∴直線l的解析式為y=kx-5（k＜0），
∵y=x²-4x-5=（x-2）²-9，
∴當(dāng)點(diǎn)D在拋物線頂點(diǎn)處或?qū)ΨQ軸左側(cè)時(shí)，新函數(shù)的最小值為-9，不符合題意；
當(dāng)點(diǎn)D在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，新函數(shù)的最小值有可能大于-8，
令y=-8，即x²-4x-5=-8，
解得：x₁=1（不合題意，舍去），x₂=3，
∴拋物線經(jīng)過點(diǎn)（3，-8），
當(dāng)直線y=kx-5（k＜0）經(jīng)過點(diǎn)（3，-8）時(shí)，可求得k=-1，
由圖象可知，當(dāng)-1＜k＜0時(shí)新函數(shù)的最小值大于-8．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，拋物線與x軸的交點(diǎn)，以及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．