Question

7．已知直線y=mx+4與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＜0）的圖象交于A，B兩點(diǎn)，與x軸，y軸分別交于點(diǎn)C，D，OD=2OC，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為6．
（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)P（a，b）在線段AC上，過點(diǎn)P作x軸的平行線與反比例函數(shù)圖象交于點(diǎn)E，當(dāng)△PCE的面積為3時(shí)，求a的值；
（3）點(diǎn)M在直線x=1上，點(diǎn)N在反比例函數(shù)的圖象上，當(dāng)以A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）首先確定點(diǎn)D坐標(biāo)（0，4），根據(jù)OD=2OC，求出點(diǎn)C坐標(biāo)，求出直線CD的解析式，再求出點(diǎn)A坐標(biāo)即可解決問題；
（2）由P（a，b），推出E（-$\frac{6}$，b），PE=a+$\frac{6}$，由題意$\frac{1}{2}$•（a+$\frac{6}$）•b=3    ①，又因?yàn)閎=-2a+4   ②由①②可以得到$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=4}\end{array}\right.$；
（3）首先利用方程組求出點(diǎn)B坐標(biāo)，分三種情形討論求解即可．

解答 解：（1）由題意D（0，4），
∴OD=4，
∵OD=2OC，
∴OC=2，
∴C（2，0），
把C（2，0）代入y=mx+4，得到2m+4=0，
∴m=-2，
∴直線的解析式為y=-2x+4，
當(dāng)y=6時(shí)，6=-2x+4，
∴x=-1，
∴A（-1，6），
∴k=-6，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=-$\frac{6}{x}$．

（2）如圖，PE∥OC，

∵P（a，b），
∴E（-$\frac{6}$，b），
∴PE=a+$\frac{6}$，
由題意$\frac{1}{2}$•（a+$\frac{6}$）•b=3    ①
∵b=-2a+4   ②
由①②得到$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴a=0．

（3）作AK∥x軸，BK∥y軸交AK于K．作N₂H⊥直線x=1于H．

由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{6}{x}}\\{y=-2x+4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴B（3，-2），
∴線段AB被直線x=1平分，
①直線x=1與y=-$\frac{6}{x}$的交點(diǎn)N₁（1，-6），這個(gè)點(diǎn)N₁即為所求．
②當(dāng)△M₂N₂H≌△BAK時(shí)，四邊形ABM₂N₂是平行四邊形，
∴N₂H=AK=4，
∴N₂的橫坐標(biāo)為-3，
∴N₂（-3，2），同理可得N₃（5，-$\frac{6}{5}$），
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1，-6）或（-3，2）或（5，-$\frac{6}{5}$）．

點(diǎn)評 本題考查反比例函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、待定系數(shù)法、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用分類討論的首先思考問題，學(xué)會添加輔助線構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．