Question

如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（1，0），B（3，0）及在正比例函數(shù)y=x上的動點(diǎn)P
（1）若該二次函數(shù)圖象的開口方向向上，選取一個(gè)你喜歡的且滿足要求的點(diǎn)P，求出該二次函數(shù)的解析式；
（2）哪些點(diǎn)P與A，B兩點(diǎn)不能確定二次函數(shù)？請說明理由；
（3）若該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在y=x上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）選取P（

1

2

，

1

2

），設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）（x-3），把P坐標(biāo)代入求出a的值，即可確定出解析式；
（2）P點(diǎn)為原點(diǎn)（0，0）點(diǎn)時(shí)，不能與A，B確定二次函數(shù)，理由為此時(shí)三個(gè)點(diǎn)都在x軸上；
（3）該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在y=x上，設(shè)P（m，m），由二次函數(shù)的性質(zhì)得到PA=PB，求出m的值，確定出P坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）假設(shè)P（

1

2

，

1

2

），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）（x-3），
把x=

1

2

，y=

1

2

代入得：

1

2

=a•（-

1

2

）•（-

5

2

），
解得：a=

2

5

，
此時(shí)拋物線解析式為y=

2

5

x²-

8

5

x+

6

5

；
（2）P點(diǎn)為原點(diǎn)（0，0）點(diǎn)時(shí)，不能與A，B確定二次函數(shù)，原因?yàn)椋捍藭r(shí)三線共線；
（3）若二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在y=x上，設(shè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m），
此時(shí)PA=PB，即（m-1）²+m²=（m-3）²+m²，
解得：m=2，
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）．

點(diǎn)評：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．