Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+4x+b，關(guān)于x的方程f（x）=x的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為β₁，β₂．若a、b均為負(fù)整數(shù)，且|β₁-β₂|=1，則函數(shù)f（x）的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：先根據(jù)題意得到關(guān)于x的一元二次方程ax²+3x+b=0，利用根的判別式得到4ab＜9，由于a、b均為負(fù)整數(shù)，則a=-1，b=-1，或a=-1，b=-2，或a=-2，b=-1，再利用根與系數(shù)的關(guān)系和完全平方公式（-

3

a

）²-

4b

a

=1，整理得a²+4ab-9=0，則可判斷a=-1，b=-2，接著利用配方得到f（x）=-（x-2）²+2，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到函數(shù)f（x）的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：根據(jù)題意得ax²+4x+b=x，
整理得ax²+3x+b=0，
∵△=9-4ab＞0，即4ab＜9，
而a、b均為負(fù)整數(shù)，
∴a=-1，b=-1，或a=-1，b=-2，或a=-2，b=-1，
∵β₁+β₂=-

3

a

，β₁，•β₂=

b

a

，
而|β₁-β₂|=1，
∴（β₁-β₂）²=1，
∴（β₁+β₂）²-4β₁β₂=1，
∴（-

3

a

）²-

4b

a

=1，
整理得a²+4ab-9=0，
∴a=-1，b=-2，
∴f（x）=-x²+4x-2=-（x-2）²+2，
∴函數(shù)f（x）的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）．
故答案為（2，2）．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：對于二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），對稱軸直線x=-

b

2a

，當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜-

b

2a

時(shí)，y隨x的增大而減��；x＞-b2a時(shí)，y隨x的增大而增大；x=-

b

2a

時(shí)，y取得最小值

4ac-b2

4a

，即頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜-

b

2a

時(shí)，y隨x的增大而增大；x＞-

b

2a

時(shí)，y隨x的增大而減小；x=-

b

2a

時(shí)，y取得最大值

4ac-b2

4a

，即頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)．也考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系．