Question

13．定義：把一個(gè)半圓與拋物線的一部分組成的封閉圖形稱為“蛋圓”．
如圖，拋物線y=x²-2x-3與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)D，以AB為直徑，在x軸上方作半圓交y軸于點(diǎn)C，半圓的圓心記為M，此時(shí)這個(gè)半圓與這條拋物線x軸下方部分組成的圖形就稱為“蛋圓”．
（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)及“蛋圓”弦CD的長(zhǎng)；
A（-1，0），B（3，0），C（0，$\sqrt{3}$），CD=3+$\sqrt{3}$；
（2）如果一條直線與“蛋圓”只有一個(gè)交點(diǎn)，那么這條直線叫做“蛋圓”的切線．
①求經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的“蛋圓”切線的解析式；
②求經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的“蛋圓”切線的解析式；
（3）由（2）求得過(guò)點(diǎn)D的“蛋圓”切線與x軸交點(diǎn)記為E，點(diǎn)F是“蛋圓”上一動(dòng)點(diǎn)，試問(wèn)是否存在S_△CDE=S_△CDF，若存在請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）點(diǎn)P是“蛋圓”外一點(diǎn)，且滿足∠BPC=60°，當(dāng)BP最大時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線與一元二次方程的關(guān)系以及勾股定理解答；
（2）運(yùn)用待定系數(shù)法求出經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的“蛋圓”切線的解析式；運(yùn)用二元二次方程組、一元二次方程根的判別式求出過(guò)點(diǎn)D的“蛋圓”切線的解析式；
（3）根據(jù)題意求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)同底等高的兩個(gè)三角形面積相等解答；
（4）根據(jù)∠BPC=60°保持不變，點(diǎn)P在一圓弧上運(yùn)動(dòng)和直徑是最大的弦進(jìn)行解答即可．

解答 解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
當(dāng)x=0時(shí)，y=3，
∴A（-1，0），B（3，0），OD=3，
如圖1，連接MC，由題意得，OM=1，MC=2，
∴OC=$\sqrt{M{C}^{2}-O{M}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴C（0，$\sqrt{3}$），CD=3+$\sqrt{3}$，
故答案為：（-1，0）；（3，0）；（0，$\sqrt{3}$）；3+$\sqrt{3}$；
（2）①如圖2，NC⊥CM，可求得N（-3，0），
∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的“蛋圓”切線的解析式為：$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+\sqrt{3}$，
②過(guò)點(diǎn)D的“蛋圓”切線的解析式為：y=kx-3，
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx-3\\ y={x^2}-2x-3\end{array}\right.$，
得：x²-（2+k）x=0，
∵直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴k=-2，
∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的“蛋圓”切線的解析式為：y=-2x-3．
（3）如圖3，∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的“蛋圓”切線的解析式為：y=-2x-3，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（$-\frac{3}{2}$，0），
∵S_△CDE=S_△CDF，
∴F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$\frac{3}{2}$，
在Rt△MQF₁中可求得F′Q=$\frac{{\sqrt{15}}}{2}$，
把x=$\frac{3}{2}$代入y=x²-2x-3，可求得y=$-\frac{15}{4}$．
∴F′（$\frac{3}{2}$，$\frac{{\sqrt{15}}}{2}$），F(xiàn)′′（$\frac{3}{2}$，$-\frac{15}{4}$）；
（4）如圖4，∵∠BPC=60°保持不變，
因此點(diǎn)P在一圓弧上運(yùn)動(dòng)．
此圓是以K為圓心（K在BC的垂直平分線上，且∠BKC=120°），BK為半徑．
當(dāng)BP為直徑時(shí)，BP最大．
在Rt△PCR中可求得PR=1，RC=$\sqrt{3}$．
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是圓與二次函數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，正確理解“蛋圓”的概念、掌握?qǐng)A周角定理、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵，解答時(shí)，注意輔助線的作法要正確．