Question

6．如圖，直線l經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），且與雙曲線$y=\frac{m}{x}（{x＞0}）$交于點(diǎn)B（2，1），
過點(diǎn)P（p，p-1）（p＞1且p≠2）作x軸的平行線分別交曲線$y=\frac{m}{x}（{x＞0}）$和$y=-\frac{m}{x}（{x＜0}）$于點(diǎn)M，N．
（1）求m的值及直線l的解析式；
（2）是否存在實(shí)數(shù)p，使得△AMN與△AMP的面積相等？若存在，求出所以滿足條件的p的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求反比例和一次函數(shù)的解析式；
（2）由于P點(diǎn)坐標(biāo)為（p，p-1）得到點(diǎn)P在直線l上，則點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)都為p-1，得到M（$\frac{2}{p-1}$，p-1），N（-$\frac{2}{p-1}$，p-1），可得MN=$\frac{4}{p-1}$，計(jì)算出S_△AMN=$\frac{1}{2}$•$\frac{4}{p-1}$•（p-1）=2，當(dāng)p＞2時(shí)，S_△APM=$\frac{1}{2}$（p-$\frac{2}{p-1}$）（p-1）=$\frac{1}{2}$（p²-p-2），利用S_△AMN=S_△APM，得到$\frac{1}{2}$（p²-p-2）=2，然后解方程即可求解．

解答 解：（1）把B（2，1）代入y=$\frac{m}{x}$中得：m=2×1=2，
設(shè)直線l的解析式為：y=kx+b
把A（1，0）、B（2，1）代入y=kx+b中得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{2k+b=1}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$
∴直線l的解析式為：y=x-1
（2）存在．理由如下：
∵P點(diǎn)坐標(biāo)為（p，p-1），
∴點(diǎn)P在直線l上，
而MN∥x軸，
∴點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)都為p-1，
∴M（$\frac{2}{p-1}$，p-1），N（-$\frac{2}{p-1}$，p-1），
∴MN=$\frac{4}{p-1}$，
∴S_△AMN=$\frac{1}{2}$•$\frac{4}{p-1}$•（p-1）=2，
當(dāng)p＞2時(shí)，如圖，
S_△APM=$\frac{1}{2}$（p-$\frac{2}{p-1}$）（p-1）=$\frac{1}{2}$（p²-p-2），
∵S_△AMN=S_△APM，
∴$\frac{1}{2}$（p²-p-2）=2，
整理得，p²-p-6=0，解得p₁=-2（不合題意，舍去），p₂=3．
∴滿足條件的p的值為3．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)綜合題：點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)滿足其解析式；會計(jì)算三角形的面積．