Question

13．如圖，平行四邊形ABCD中，兩條對(duì)角線交于O點(diǎn)，且AO、BO的長(zhǎng)分別是關(guān)于x的方程
x²+（2m-1）x+m²+3=0的根．
（1）當(dāng)m為何值時(shí)，平行四邊形ABCD為矩形；
（2）當(dāng)m為何值時(shí)，平行四邊形ABCD周長(zhǎng)為20的菱形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的判定可得AC=BD，則平行四邊形ABCD為矩形，因此AO=BO，進(jìn)而說(shuō)明方程x²+（2m-1）x+m²+3=0的兩根相等，故△=0，然后可得方程（2m-1）²-4（m²+3）=0，再解即可；
（2）菱形ABCD的邊長(zhǎng)是5，則AO²+BO²=25，則再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：AO+BO=2m-1，AO•BO=m²+3，代入AO²+BO²中，得到關(guān)于m的方程后，求得m的值．

解答 解：（1）∵當(dāng)AO=BO時(shí)，AC=BD，則平行四邊形ABCD為矩形，
∴關(guān)于x的方程x²+（2m-1）x+m²+3=0的兩根相等，
∴△=0，
∴（2m-1）²-4（m²+3）=0，
解得：m=-$\frac{11}{4}$；

（2）∵菱形ABCD的周長(zhǎng)為20，
∴菱形的邊長(zhǎng)AB=5，
由直角三角形的三邊關(guān)系可得：AO²+BO²=25，
又有根與系數(shù)的關(guān)系可得：AO+BO=2m-1，AO•BO=m²+3，
∴AO²+BO²=（AO+BO）²-2AO•BO=（2m-1）²-2×（m²+3）=25，
整理得：2m²-4m-5=25，
解得：m=5或-3（舍去）．
故m=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查菱形和矩形的判定，以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，關(guān)鍵是掌握對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，對(duì)角線相互相垂直的平行四邊形是菱形．