Question

9．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB于點D、E、F分別為BC，AB上的點．AE⊥CF于點G，交CD于點H．
（1）求證：AH=CF；
（2）若BE=2DH，求證：CE=BF．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰直角三角形的性質得到∠ACD=∠ABC=45°，根據(jù)余角的性質得到∠CHG=∠CFD，求得∠AHC=∠BFC，推出△AHC≌△BFC，根據(jù)全等三角形的性質即可得到結論；
（2）過D作DM∥BC交AE于M，根據(jù)等腰直角三角形的性質得到AD=BD，根據(jù)三角形的中位線的性質得到DM=$\frac{1}{2}$BE，求得DM=DH，得到∠DMH=∠DHM，證得CH=CE，由于CH=CF，等量代換即可得到結論．

解答 證明：（1）∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB于點D，
∴∠ACD=∠ABC=45°，
∵AE⊥CF于點G，
∴∠CHG+∠HCG=∠CFD+∠HCG=90°，
∴∠CHG=∠CFD，
∴∠AHC=∠BFC，
在△AHC與△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACH=∠B}\\{∠AHC=∠BFC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△AHC≌△BFC，
∴AH=CF；

（2）過D作DM∥BC交AE于M，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB于點D，
∴AD=BD，
∴DM=$\frac{1}{2}$BE，
∵BE=2DH，
∴DM=DH，
∴∠DMH=∠DHM，
∵∠DMH=∠CEH，∠MHD=∠CHE，
∴∠CHE=∠CEH，
∴CH=CE，
∵△AHC≌△BFC，
∴CH=BF，
∴CE=BF．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，平行線的性質，三角形的中位線的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．