Question

如圖1，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），正比例函數(shù)y=kx（k＞0）．
探究1：當(dāng)k=1時(shí)，則點(diǎn)A關(guān)于直線y=x對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為

 

；
當(dāng)k=

3

時(shí)，則點(diǎn)A關(guān)于直線y=

3

x對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為

 

；
探究2：當(dāng)k=2時(shí)，求點(diǎn)A關(guān)于直線y=2x對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)；
應(yīng)用：如圖2，直線OB：y=mx，直線OC：y=

1

m

x，如y軸上點(diǎn)A關(guān)于OB對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)為D，關(guān)于OC對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)為G，當(dāng)m=

 

時(shí)，四邊形AOGD為菱形．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)綜合題,探究型

分析：點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題，一般先根據(jù)已知直線的斜率求得兩對(duì)稱點(diǎn)所在直線的斜率，寫出兩對(duì)稱點(diǎn)所在的直線方程，聯(lián)立兩直線方程求得兩對(duì)稱點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)在已知直線上進(jìn)行求解．
（1）關(guān)于y=x對(duì)稱，根據(jù)規(guī)律即可得出．關(guān)于直線對(duì)稱，先設(shè)出對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)（x，y），再寫出直線AF的直線方程，聯(lián)立兩直線方程求得中點(diǎn)坐標(biāo)．進(jìn)而求得F點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）方法同（1），因?yàn)橐�求求得m的值．所以坐標(biāo)要帶有m，求得的D點(diǎn)坐標(biāo)代入到直線OC方程即可求得m的值．需注意直線OB與直線OC的斜率并未說(shuō)明誰(shuí)大誰(shuí)小，所以要分情況討論．

解答：解：（1）當(dāng)k=1時(shí)，點(diǎn)A關(guān)于y=x的對(duì)稱點(diǎn)為（4，0）比較簡(jiǎn)單，利用關(guān)于y=kx對(duì)稱，橫縱坐標(biāo)交換位置即可．
當(dāng)k=3時(shí)，設(shè)對(duì)稱點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x，y），由于直線AF與直線y=

3

x垂直，
則直線AF的斜率為-

3

3

，直線AF的方程為：y-4=-

3

3

x．
與直線y=

3

x聯(lián)立

y-4=- 3 3 x y= 3 x

．
解得線段AF的中點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

，3），
又因?yàn)辄c(diǎn)A（0，4），
則點(diǎn)F（2

3

，2）．

（2）由菱形的對(duì)角線互相平分且垂直可得：點(diǎn)D在直線OC上，此時(shí)OD與AG才能垂直．
由對(duì)稱可知：直線AD的斜率為-

1

m

．直線AD的方程為y-4=-

1

m

x．
聯(lián)立方程

y=mx y-4=- 1 m  x

，
解得線段AD的中點(diǎn)坐標(biāo)為（

4m

m2+1

，

4m2

m2+1

），
又∵點(diǎn)A（0，4）
則點(diǎn)D的坐標(biāo)（

8m2

m2+1

，

8m2

m2+1

+4），
將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入到直線OC方程，解得m=±

3

，
由圖可知直線的斜率為正，得m=

3

．
同理，當(dāng)直線OB的斜率小于直線OC的斜率時(shí)，聯(lián)立方程

y= 1 m x y-4=-mx

，
解得：m=

3

3

綜上所得：m的值為

3

或

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：考查了點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題，一般先根據(jù)已知直線的斜率求得兩對(duì)稱點(diǎn)所在直線的斜率，寫出兩對(duì)稱點(diǎn)所在的直線方程，聯(lián)立兩直線方程求得兩對(duì)稱點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)在已知直線上進(jìn)行求解．此類題求解思想比較簡(jiǎn)單，但是計(jì)算相對(duì)較繁瑣．