Question

17．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，點(diǎn)M以2（單位：cm/s）的速度在線段AB上由點(diǎn)A向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)停止，過點(diǎn)M作MN⊥AB與三角形的直角邊相交于點(diǎn)N，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：s）
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)N在AC上時(shí)，用含t的代數(shù)式表示MN的長度；
（2）當(dāng)Rt△ABC被MN分成面積1：2的兩部分時(shí)，求t的值．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理求出AC8cm，證明△ANM∽△ABC，得出$\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AC}$，求出MN=$\frac{3}{2}$t即可；
（2）求出△ABC的面積=$\frac{1}{2}$AC•BC=24（cm²），分情況討論：
①當(dāng)點(diǎn)N在AC上時(shí)，△AMN的面積=$\frac{1}{2}$AM•MN=$\frac{1}{2}$×2t×$\frac{3}{2}$t=$\frac{3}{2}$t²；（a）若$\frac{3}{2}$t²=$\frac{1}{3}$×24，求出t=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；（b）若$\frac{3}{2}$t²=$\frac{2}{3}$×24，求出t=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$；
②當(dāng)點(diǎn)N在BC上時(shí)，△BMN∽△BCA，求出MN=$\frac{40-8t}{3}$，得出△BMN的面積=$\frac{1}{2}$×（10-2t）×$\frac{40-8t}{3}$=$\frac{1}{3}$×24，解方程即可．

解答 解：（1）∵∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=8cm，MN⊥AB，
∴∠AMN=90°=∠C，
又∵∠A=∠A，
∴△ANM∽△ABC，
∴$\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AC}$，即$\frac{MN}{6}=\frac{2t}{8}$，
解得：MN=$\frac{3}{2}$t；
（2）△ABC的面積=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$×8×6=24（cm²），
分兩種情況討論：
①當(dāng)點(diǎn)N在AC上時(shí)，△AMN的面積=$\frac{1}{2}$AM•MN=$\frac{1}{2}$×2t×$\frac{3}{2}$t=$\frac{3}{2}$t²；
（a）若$\frac{3}{2}$t²=$\frac{1}{3}$×24，
解得：t=±$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（負(fù)值舍去），
∴t=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
（b）若$\frac{3}{2}$t²=$\frac{2}{3}$×24，
解得：t=±$\frac{4\sqrt{6}}{3}$（負(fù)值舍去），
∴t=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$；
②當(dāng)點(diǎn)N在BC上時(shí)，如圖所示：
則△BMN∽△BCA，
∴$\frac{MN}{AC}=\frac{BM}{BC}$，
解得：MN=$\frac{40-8t}{3}$，
∴△BMN的面積=$\frac{1}{2}$×（10-2t）×$\frac{40-8t}{3}$=$\frac{1}{3}$×24，
解得：t=5±$\sqrt{3}$，
經(jīng)檢驗(yàn)，t=5+$\sqrt{3}$不合題意舍去，
∴t=5-$\sqrt{3}$；
綜上所述：當(dāng)Rt△ABC被MN分成面積1：2的兩部分時(shí)，t的值為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$或$\frac{4\sqrt{6}}{3}$或5-$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形面積的計(jì)算等知識(shí)；熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，進(jìn)行分類討論是解決問題的關(guān)鍵．