Question

8．如圖，在平面直角坐標系中，點C的坐標為（3，1），動點A以每秒1個單位的速度從點O出發(fā)沿x軸正半軸運動，同時動點B以每秒2個單位的速度從點O出發(fā)沿y軸正半軸運動，作直線AB．設運動的時間為t秒，是否存在t，使△ABC是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 運動的時間是t，則OA=t，OB=2t，利用勾股定理把AB²，BC²和AC²用t表示出來，然后利用勾股定理列方程求得t的值，然后判斷t是否滿足條件，以及是否是等腰三角形即可．

解答 解：運動的時間是t，則OA=t，OB=2t．
在直角△OAB中，AB²=OA²+OB²=t²+（2t）²=5t²，
過C作CD⊥x軸于點D，則D的坐標是（3，0）．
在直角△ACD中，AC²=CD²+AD²=1+（3-t）²=t²-6t+10，
BC²=3²+（2t-1）²=4t²-4t+10，
當AB是斜邊時，AB²=AC²+BC²，則5t²=t²-6t+10+4t²-4t+10，
解得：t=2．
此時AB²=20，AC²=2，BC²=18，此時不是等腰三角形，故不符合條件；
當AC是斜邊時，AC²=AB²+BC²，則t²-6t+10=5t2+（4t²-4t+10），
解得：t=0或-4（不符合題意，舍去）；
當BC是斜邊時，AB²+AC²=BC²，則5t²+（t²-6t+10）=4t²-4t+10，
解得：t=0（舍去），或1．
當t=1時，AB²=5，AC²=1-6+10=5，此時AB=AC．
總之，當t=1時，△ABC是等腰直角三角形．

點評 本題考查了一次函數與勾股定理的綜合應用，正確進行討論，利用m表示出AB²，BC²和AC²是關鍵．