Question

如同，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，O是CD邊的中點，以O為圓心，OC長為半徑作圓，交BC邊于點E．過E作EH⊥AB，垂足為H，已知⊙O與AB邊相切，切點為F，連結OF．
（1）求證：OE∥AB；
（2）判定四邊形OEHF的形狀，并加以說理；
（3）若已知BH=1，BE=4，求CE的長．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：計算題

分析：（1）根據等腰梯形的性質得∠B=∠C，而∠C=∠OEC，則∠OEC=∠B，根據平行線的判定得到OE∥AB；
（2）由EH⊥AB得∠EHF=90°，再由OE∥AB得∠OEH=90°，根據切線的性質得∠OFH=90°，則可判斷四邊形OEHF為矩形，加上OF=OE，于是可判斷四邊形OEHF為正方形；
（3）連結DE，在Rt△BEH中，根據勾股定理可計算出HE=

15

，則OE=HE=

15

，所以DC=2OE=2

15

，由于DE為直徑，根據圓周角定理得∠DEC=90°，加上∠B=∠C，可判斷△BEH∽△CDE，利用相似比可計算出EC．

解答：（1）證明：∵梯形ABCD為等腰梯形，
∴∠B=∠C，
∵OE=OC，
∴∠C=∠OEC，
∴∠OEC=∠B，
∴OE∥AB；
（2）解：四邊形OEHF為正方形．理由如下：
∵EH⊥AB，
∴∠EHF=90°，
∵OE∥AB，
∴∠OEH=90°，
∵⊙O與AB邊相切，切點為F，
∴OF⊥AB，
∴∠OFH=90°，
∴四邊形OEHF為矩形，
而OF=OE，
∴四邊形OEHF為正方形；
（3）解：連結DE，如圖，
在Rt△BEH中，BH=1，BE=4，
∴HE=

BE2-BH2

=

15

，
∴OE=HE=

15

，
∴DC=2OE=2

15

，
∵DE為直徑，
∴∠DEC=90°，
而∠B=∠C，
∴△BEH∽△CDE，
∴

BE

DC

=

BH

EC

，即

4

2 15

=

1

EC

，
∴EC=

15

2

．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓周角定理和切線的性質；理解特殊四邊形的判定與性質；會利用勾股定理和相似比進行幾何計算．