Question

3．如圖①，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心，以AB為半徑的圓弧上從A點(diǎn)開始以a度/秒的速度逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，OD⊥AB．在此運(yùn)動(dòng)過程中，△BOC的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（秒）之間的函數(shù)圖象（非拋物線）如圖②所示，根據(jù)函數(shù)圖象回答下列問題：
（1）填空：a=30，b=3；
（2）當(dāng)t=5時(shí)，求∠ABC的度數(shù)及扇形OBC的面積；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△BOC的面積為4．

Answer 1

分析 （1）當(dāng) CO⊥AB時(shí)，面積最大，當(dāng)C點(diǎn)與A，B重合時(shí)面積最小，CO兩次垂直于AB，第一次時(shí)，∠AOC=90°，第二次時(shí)，∠AOC=270°，結(jié)合圖象，易得出結(jié)論；
（2）由（1）得∠ABC，由圓周角定理可得∠ABC，∠BOC，結(jié)合圖象易得R，利用扇形的面積公式得出結(jié)論；
（3）若△BOC的面積為4，則以BO為底的高為2，易得∠AOC=30°，150°或210°時(shí)，解得t．

解答 解：（1）由題意得：當(dāng)∠AOC=90°時(shí)，第一次面積最大；當(dāng)∠AOC=180°時(shí)，面積最小，
當(dāng)∠AOC=270°時(shí)，面積第二次最大，
∴a=$\frac{270°}{9}$=30°，b=$\frac{9}{3}=3$，
故答案為：30，3；

（2）當(dāng)t=5時(shí)，∠AOC=30t=150°，
∴$∠ABC=\frac{1}{2}∠AOC=75°$，
∴∠BOC=30°，
設(shè)⊙O的半徑為R，則$\frac{1}{2}$R²=8，
∴R=4，
∴S_扇形OBC=$\frac{30π{•4}^{2}}{360}$=$\frac{4}{3}$π；

（3）作CE⊥AB于E，當(dāng)$\frac{1}{2}$OB•CE=4時(shí)，即$\frac{1}{2}×4CE$=4，
∴CE=2，
在Rt△OCE中，sin∠COE=$\frac{CE}{OE}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠COE=30°，
如圖①∠AOC=30°，t=30÷30=1（秒）；
如圖②∠AOC=150°，t=150÷30=5（秒）；
如圖③∠AOC=210°，t=210÷30=7（秒）；
∴當(dāng)t為1秒，5秒，7秒時(shí)，△BOC的面積為4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查圓周角定理，結(jié)合圖象解決動(dòng)點(diǎn)問題，正確識(shí)圖，分清界點(diǎn)結(jié)合圖象是解答此題的關(guān)鍵．