Question

5．已知拋物線p：y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)為C，與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為C′，我們稱以A為頂點(diǎn)且過點(diǎn)C′，對稱軸與y軸平行的拋物線為拋物線p的“關(guān)聯(lián)”拋物線，直線AC′為拋物線p的“關(guān)聯(lián)”直線．若一條拋物線的“關(guān)聯(lián)”拋物線和“關(guān)聯(lián)”直線分別是y=x²+2x+1和y=2x+2，則這條拋物線的解析式為y=x²-2x-3．

Answer 1

分析 先求出y=x²+2x+1和y=2x+2的交點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（1，4），再求出“關(guān)聯(lián)”拋物線y=x²+2x+1的頂點(diǎn)A坐標(biāo)（-1，0），接著利用點(diǎn)C和點(diǎn)C′關(guān)于x軸對稱得到C（1，-4），則可設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-1）²-4，然后把A點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a的值即可得到原拋物線解析式．

解答 解：∵y=x²+2x+1=（x+1）²，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+2x+1}\\{y=2x+2}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（1，4），
∵點(diǎn)C和點(diǎn)C′關(guān)于x軸對稱，
∴C（1，-4），
設(shè)原拋物線解析式為y=a（x-1）²-4，
把A（-1，0）代入得4a-4=0，解得a=1，
∴原拋物線解析式為y=（x-1）²-4=x²-2x-3．
故答案為：y=x²-2x-3．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)：求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0，即ax²+bx+c=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)．△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，△=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．