Question

20．如圖，拋物線y=$\frac{1}{4}$（x-4）²-4的頂點(diǎn)為P，M，N均在對稱軸上，且PM=PN，延長OM交拋物線于點(diǎn)A，求證：∠ANM=∠ONM．

Answer 1

分析 過A作AH垂直于直線l，直線l與x軸交于點(diǎn)D，由A在二次函數(shù)圖象上，設(shè)A橫坐標(biāo)為m，將x=m代入二次函數(shù)解析式，表示出縱坐標(biāo)，確定出A的坐標(biāo)，再由O的坐標(biāo)，表示出直線AO的解析式，進(jìn)而表示出M，N及H的坐標(biāo)，得出OD，ND，HA，及NH，在直角三角形OND中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出tan∠ONM，在直角三角形ANH中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出tan∠ANM，化簡后得到tan∠ONM=tan∠ANM，可得出∠ONM=∠ANM，得證．

解答 證明：過A作AH⊥l于H，l與x軸交于點(diǎn)D，如圖所示：
設(shè)A（m，$\frac{1}{4}$m²-2m），又O（0，0），
∴直線AO的解析式為y=$\frac{\frac{1}{4}{m}^{2}-2m}{m}$x=（$\frac{1}{4}$m-2）x，
則M（4，m-8），N（4，-m），H（4，$\frac{1}{4}$m²-2m），
∴OD=4，ND=m，HA=m-4，NH=ND-HD=$\frac{1}{4}$m²-m，
在Rt△OND中，tan∠ONM=$\frac{OD}{DN}$=$\frac{4}{m}$，
在Rt△ANH中，tan∠ANM=$\frac{HA}{HN}$=$\frac{m-4}{\frac{1}{4}{m}^{2}-m}$=$\frac{4（m-4）}{m（m-4）}$=$\frac{4}{m}$，
∴tan∠ONM=tan∠ANM，
∴∠ANM=∠ONM．

點(diǎn)評 本題考查了兩點(diǎn)坐標(biāo)確定一次函數(shù)解析式，銳角三角函數(shù)定義，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，是一道綜合性的題目，難度中等．