Question

13．已知：a²+b²-2a+4b+5=0，c是（2+1）（2²+1）（2⁴+1）…（2³²+1）+1的個位數(shù)字，求（a+c）^b的值．

Answer 1

分析 先利用平方分得出a、b的數(shù)值，再把2+1變成2²-1，然后逐個使用平方差公式，算出結果，再根據(jù)2的整數(shù)次冪的個位數(shù)字的規(guī)律，可判斷最后結果的個位數(shù)字得出c，進一步代入求得答案即可．

解答 解：∵a²+b²-2a+4b+5=0，
∴（a-1）²+（b+2）²=0，
∴a=1，b=-2，
∵（2+1）（2²+1）（2⁴+1）…（2³²+1）+1
=（2²-1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2³²+1）+1
=（2⁴-1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2³²+1）+1
=2⁶⁴-1+1
=2⁶⁴；
∵2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，2⁵=32，…
∴2的整數(shù)次冪的個位數(shù)字每4個數(shù)字為一個循環(huán)組依次循環(huán)，
∵64=16×4，
∴2⁶⁴的個位數(shù)字與2⁴的個位數(shù)字相同，為6，
∴原式的個位數(shù)字為6，即c=6；
∴（a+c）^b=$\frac{1}{49}$．

點評 此題考查配方法的實際運用，非負數(shù)的性質，乘方的尾數(shù)特征，掌握完全平方公式和平方差公式是解決問題的關鍵．