Question

17．如圖，拋物線y=ax²+2ax+1與x軸僅有一個(gè)公共點(diǎn)A，經(jīng)過點(diǎn)A的直線交該拋物線于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C，且點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)．
（1）求這條拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；
（2）求直線AB對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式．

Answer 1

分析 （1）利用△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)得到4a²-4a=0，然后解關(guān)于a的方程求出a，即可得到拋物線解析式；
（2）利用點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)可判斷點(diǎn)A與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，則可以利用拋物線解析式確定B點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求直線AB的解析式．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+2ax+1與x軸僅有一個(gè)公共點(diǎn)A，
∴△=4a²-4a=0，解得a₁=0（舍去），a₂=1，
∴拋物線解析式為y=x²+2x+1；
（2）∵y=（x+1）²，
∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），
∵點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，
即點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于C點(diǎn)對(duì)稱，
∴B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，
當(dāng)x=1時(shí)，y=x²+2x+1=1+2+1=4，則B（1，4），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
把A（-1，0），B（1，4）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{k+b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=2x+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：對(duì)于二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0），△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：△=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．也考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．