Question

11．如圖，在?ABCD中，∠ABD的平分線BE交AD于點(diǎn)E，∠CDB的平分線DF交BC于點(diǎn)F．
（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）若AB=DB，猜想：四邊形DFBE是什么特殊的四邊形？并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）首先利用平行四邊形的想得到AB=CD，∠A=∠C，再利用角平分線的性質(zhì)得到∠ABE=∠CDF，利用ASA證明△ABE≌△CDF；
（2）證明∠DEB=∠BFD=∠EDF=90°．即可解決問(wèn)題．．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形
AB=CD，∠A=∠C．
AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB．
∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，
∴∠ABE=∠ABD，∠CDF=∠CDB．
∴∠ABE=∠CDF．
在△ABE和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠C}&{\;}\\{AB=CD}&{\;}\\{∠ABE=∠CDF}&{\;}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△CDF（SAS）．         

（2）解：四邊形DFBE是矩形．理由如下：
∵AB=DB，BE平分∠ABD，
∴BE⊥AD，即∠DEB=90°．
∵AB=DB，AB=CD，
∴DB=CD．
∵DF平分∠CDB，
∴DF⊥BC，即∠BFD=90°．
在□ABCD中，∵AD∥BC，
∴∠EDF+∠DEB=180°．
∴∠EDF=90°．
∴∠DEB=∠BFD=∠EDF=90°．
∴四邊形DFBE是矩形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定、平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的定義、矩形的判定、等腰三角形的三線合一等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法，屬于中考�？碱}型．