Question

5．已知：關(guān)于x的一元二次方程x²-（n-2m）x+m²-mn=0．
（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；
（2）若m-1=0，求證：x²-（n-2m）x+m²-mn=0有一個實數(shù)根為-1；
（3）在（2）的條件下，若y是n的函數(shù)，且y是上面方程兩根之和，結(jié)合函數(shù)圖象回答：當(dāng)自變量n的取值范圍滿足什么條件時，y≤2n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)方程x²-（n-2m）x+m²-mn=0中，△=[-（n-2m）]²-4（m²-mn）=n²≥0，得出方程總有兩個實數(shù)根；
（2）先根據(jù)m=1，求得一元二次方程x²-（n-2）x+1-n=0，再由求根公式，得到x=n-1或x=-1即可；
（3）在同一平面直角坐標系中，分別畫出y=n-2與y=2n的圖象，再由圖象可得，當(dāng)n≥-2時，y≤2n．

解答 （1）證明：∵x²-（n-2m）x+m²-mn=0是關(guān)于x的一元二次方程，
∴△=[-（n-2m）]²-4（m²-mn）=n²，
∵不論n取任何實數(shù)時，都有n²≥0，即△≥0，
∴方程總有兩個實數(shù)根；

（2）證明：∵m-1=0，
∴m=1，
∴有一元二次方程x²-（n-2）x+1-n=0，
由求根公式，得x=$\frac{（n-2）±n}{2}$，
∴x=n-1或x=-1，
∴方程有一個實數(shù)根為x=-1；

（3）解：如圖所示，在同一平面直角坐標系中，分別畫出y=n-2與y=2n的圖象．

由圖象可得，當(dāng)n≥-2時，y≤2n．

點評 本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的運用，解決這類問題時除了利用根與系數(shù)的關(guān)系，同時還要考慮a≠0，△≥0這兩個前提條件．