Question

如圖，直線y=-

3

3

x+3和x軸、y軸的交點分別為B、C，點A的坐標是（-

3

，0），另一條直線經(jīng)過點A、C．
（1）求直線AC所對應的函數(shù)表達式；
（2）動點M從B出發(fā)沿BC運動，運動的速度為每秒1個單位長度．當點M運動到C點時停止運動．設M運動t秒時，△ABM的面積為S．
①求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
②當t為何值時，S=

1

2

S△ABC（注：S_△ABC表示△ABC的面積），求出對應的t值；
③當 t=4的時候，在坐標軸上是否存在點P，使得△BMP是以BM為直角邊的直角三角形？若存在，請直接寫出P點坐標；若不存在，請說明理由．
（友情提醒：在解題過程中可以直接運用以下結(jié)論：在直角三角形中，30°的角所對的直角邊的長等于斜邊長的一半）

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題,數(shù)形結(jié)合,待定系數(shù)法

分析：（1）求出C的坐標，用待定系數(shù)法求出直線的解析式即可；
（2）①求出高MN，根據(jù)三角形面積公式求出即可；②求出△ABC的面積，得出方程，求出方程的解即可；③分為兩種情況：當∠PMB=90°和∠PBM=90°，解直角三角形求出即可．

解答：解：（1）把x=0代入直線y=-

3

3

x+3得：y=3，
即C的坐標是（0，3），
設直線AC所對應的函數(shù)表達式是y=kx+3，
把A（-

3

，0）代入得：0=-

3

k+3，
解得：k=

3

，
即直線AC所對應的函數(shù)表達式是y=

3

x+3；

（2）
過M作MN⊥AB于N，如圖1，
把x=0代入直線y=-

3

3

x+3得：y=3，
把y=0代入直線y=-

3

3

x+3得：x=3

3

，
即OB=3

3

，OC=3，
∴tan∠CBO=

OC

OB

=

3

3 3

=

3

3

，
∴∠CBO=30°，∠OCB=60°，
∵BM=t，∠MNB=90°，
∴MN=

1

2

BM=

1

2

t，
∴①S=

1

2

AB×MN，
即S與t的函數(shù)關(guān)系式是S=

3

t；

②∵S_△ACB=

1

2

×

3

×3+

1

2

×3

3

×3=6

3

，S=

1

2

S_△ABC，
∴

3

t=3

3

，
∴t=3；

③如圖2，

當∠BMP=90°時，BM=4，∠CBO=90°，
∴cos30°=

4

BP1

，
∴BP₁=

8 3

3

，
∴OP₁=3

3

-

8 3

3

=

3

3

，
即P₁的坐標是（

3

3

，0），
∵∠CP₂M+∠OP₁P₂=∠CBO+∠MP₁B=90°，∠MP₁B=∠OP₁P₂，
∴∠OP₂P₁=30°，
∴OP₂=

OP1

tan30°

=1，
即P₂的坐標是（0，-1）；
當∠MBP₃=90°時，如圖3，

則∠OBP₃=90°-30°=60°，
∴OP₃=OB×tan60°=3

3

×

3

=9，
即P₃的坐標是（0，-9）；
綜合上述：當t=4的時候，在坐標軸上存在點P，使得△BMP是以BM為直角邊的直角三角形，P點坐標是（

3

3

，0）或（0，-1）或（0，-9）．

點評：本題考查了坐標與圖形性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式，直角三角形性質(zhì)，解直角三角形的應用，本題題型比較好，綜合性比較強，難度偏大．