Question

8．（1）已知，如圖1，在△ABC中，過(guò)C作 CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，則
①填空：sinA=$\frac{CD}{（AC）}$；
②求證：$\frac{BC}{sinA}=\frac{AC}{sinB}$．
（2）你可以利用第（1）題的結(jié)論，來(lái)解決下列問(wèn)題：
如圖（2），某漁船在B處，測(cè)得燈塔A在該船的北偏西30°的方向上，隨后以20海里/小時(shí)的速度按北偏東30°的方向航行，2小時(shí)后到達(dá)C處，此時(shí)測(cè)得A在北偏西75°的方向上，求此時(shí)該船距燈塔A的距離AC．

Answer 1

分析 （1）①在RT△ADC中根據(jù)正弦函數(shù)的定義即可解決．
②由sinA=$\frac{CD}{AC}$，sinB=$\frac{CD}{BC}$，得到CD=AC•sinA，CD=BC•sinB，列出等式即可解決問(wèn)題．
（2）利用②的結(jié)論列出方程即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）①∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
在RT△ADC中，sinA=$\frac{CD}{AC}$，
故答案為：AC．
②證明：∵sinA=$\frac{CD}{AC}$，sinB=$\frac{CD}{BC}$
∴CD=AC•sinA，CD=BC•sinB，
∴AC•sinA=BC•sinB，
∴$\frac{BC}{sinA}=\frac{AC}{sinB}$；
（2）如圖（2）依題意得：BC=20×2=40，∠ABC=30°+30°=60°，
可求出∠A=45°，
在△ABC中，由第（1）題的結(jié)論，得$\frac{AC}{{sin{{60}°}}}$=$\frac{40}{{sin{{45}°}}}$，
即ACsin45°=40sin60°，
解得：AC=20$\sqrt{6}$（海里）．
答：漁船距燈塔A的距離為20$\sqrt{6}$海里．

點(diǎn)評(píng) 本題考查解直角三角形、方向角等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用靈活運(yùn)用三角函數(shù)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用新的結(jié)論解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．